上海交通大学 2022年强基第33题
📝 题目
$\left\{a_{n}\right\}$ 有 $\displaystyle a_{0}=\frac{1}{4}, a_{n+1}=a_{n}^{2}+a_{n}(n \in N)$ ，则 $\sum_{n=0}^{2022} a_{n}$ 的整数部分为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】题目疑有误，或应为求 $\displaystyle \left[\sum_{n=0}^{2022} \frac{1}{a_{n}+1}\right]$ ，此时 $\displaystyle \frac{1}{a_{n}+1}=\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}$ 即求和为 $\displaystyle \frac{1}{a_{0}}-\frac{1}{a_{2023}}$ ，取整为 3．原题中易验证 $a_{9}\gt 2$ ，则 $a_{2022}\gt 2^{2000}$ ，数值过大，故题目应当有误。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别题目可能存在的错误
原题求∑a_n，但a_n增长极快，a_9>2，a_2022>2^2000，数值过大，整数部分无意义，推测题目有误。
提示：注意数列增长速度，若数值过大则可能题目有误。
步骤 2/6
目标：修正题目为求∑1/(a_n+1)的整数部分
常见题型中，此类递推常与1/(a_n+1)的裂项相关，故猜测原题应为求∑1/(a_n+1)的整数部分。
提示：观察递推式a_{n+1}=a_n^2+a_n，可联想到1/(a_n+1)的裂项。
步骤 3/6
目标：推导裂项公式
由a_{n+1}=a_n(a_n+1)，取倒数得1/a_{n+1}=1/(a_n(a_n+1))=1/a_n - 1/(a_n+1)，移项得1/(a_n+1)=1/a_n - 1/a_{n+1}。
公式：1/(a_n+1)=1/a_n - 1/a_{n+1}
提示：裂项是处理此类求和的关键。
步骤 4/6
目标：计算求和结果
∑_{n=0}^{2022} 1/(a_n+1) = ∑(1/a_n - 1/a_{n+1}) = 1/a_0 - 1/a_{2023}。由a_0=1/4得1/a_0=4。
公式：∑_{n=0}^{2022} 1/(a_n+1) = 1/a_0 - 1/a_{2023}
提示：裂项相消后只剩首尾项。
步骤 5/6
目标：估计a_{2023}的范围
由递推a_{n+1}=a_n^2+a_n，a_n递增且a_0=0.25，a_1=0.3125，a_2≈0.410，a_3≈0.578，a_4≈0.912，a_5≈1.744，a_6≈4.79，a_7≈27.7，a_8≈795，a_9>632000，故a_{2023}极大，1/a_{2023}≈0。
提示：数列增长极快，后续项倒数可忽略。
步骤 6/6
目标：得出整数部分
因此∑_{n=0}^{2022} 1/(a_n+1) ≈ 4 - 0 = 4，但需精确：由于a_{2023}>0，1/a_{2023}>0，故和小于4。又a_0=0.25，1/a_0=4，且1/a_{2023}>0，所以和大于3？实际上1/a_0=4，减去一个正数，结果小于4。但需判断是否大于3：a_1=0.3125，1/a_1=3.2，而1/a_{2023}很小，故和接近4但小于4，整数部分为3？需验证：1/a_0=4，1/a_{2023}非常小，但4减去一个很小的正数仍大于3.9，整数部分应为3？不对，4减去一个小于1的正数，结果在3到4之间，整数部分为3。但更精确：1/a_0=4，1/a_{2023}小于1，所以和大于3，整数部分为3。
提示：注意整数部分为不超过该数的最大整数。
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