上海交通大学 2022年强基第34题
📝 题目
一圆雉高为 $\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，底面直径为 3 ，向其中装入一正四面体（边长为 $a$ ），可在锥内自由转动，则 $a_{\text {max }}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】锥体轴截面为边长 3 的正三角形，故内切球半径为 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ 边长为 $a$ 的正四面体外接球半径为 $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4} a=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a=\sqrt{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析圆锥的几何特征
圆锥高为3√3/2，底面直径3，底面半径3/2。轴截面为等腰三角形，底边3，高3√3/2，腰长√[(3/2)^2+(3√3/2)^2]=3，故轴截面是边长为3的正三角形。
公式：腰长=√(r^2+h^2)
提示：注意计算腰长时化简
步骤 2/4
目标：求圆锥内切球半径
正三角形内切圆半径等于高的一半：高=3√3/2，内切圆半径=(3√3/2)/3=√3/2。圆锥内切球半径等于轴截面内切圆半径，即r_球=√3/2。
公式：正三角形内切圆半径=高/3
提示：内切球球心在圆锥轴线上
步骤 3/4
目标：确定正四面体与内切球的关系
正四面体可在锥内自由转动，其外接球半径不超过圆锥内切球半径。最大边长时，正四面体外接球与圆锥内切球重合，即外接球半径R=√3/2。
公式：R ≤ r_球
提示：自由转动意味着四面体所有顶点在球内
步骤 4/4
目标：计算正四面体边长
正四面体外接球半径公式：R=√6/4 * a。代入R=√3/2，得√6/4 * a = √3/2，解得a=√2。
公式：R = (√6/4)a
提示：注意公式推导或记忆
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