上海交通大学 2022年强基第35题
📝 题目
方程 $\displaystyle \left[\frac{x}{2}\right]+\left[\frac{x}{3}\right]+\left[\frac{x}{5}\right]=x$ 有多少组解？
💡 答案解析
【解析】设 $x=30 k+r$ $0 \leq \mathrm{r} \leq 29 \quad r \in z^{+}$ ∴ 原方程等价于 $\displaystyle 15 k+10 k+6 k+\left[\frac{r}{2}\right]+\left[\frac{r}{3}\right]+\left[\frac{r}{5}\right]=30 k+r$ 即 $\displaystyle k+\left[\frac{r}{2}\right]+\left[\frac{r}{3}\right]+\left[\frac{r}{5}\right]=r$ 对于任意 $0 \leq \mathrm{r} \leq 29$ 均存在唯一 $k$ 使上式成立 ∴ 原方程共有 30 个解。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入变量代换，将x表示为30k+r的形式
由于2,3,5的最小公倍数为30，设x=30k+r，其中0≤r≤29，r为整数。
公式：x = 30k + r
提示：r的范围是0到29，共30个可能取值。
步骤 2/5
目标：将原方程中的取整函数展开
代入x=30k+r，利用取整函数的线性性质：[x/2]=15k+[r/2]，类似得到[x/3]=10k+[r/3]，[x/5]=6k+[r/5]。
公式：[x/2] = 15k + [r/2], [x/3] = 10k + [r/3], [x/5] = 6k + [r/5]
提示：注意k为整数，30k/2=15k是整数。
步骤 3/5
目标：化简方程，得到关于k和r的关系式
原方程变为：15k+10k+6k+[r/2]+[r/3]+[r/5] = 30k+r，即31k+[r/2]+[r/3]+[r/5] = 30k+r，化简得k = r - ([r/2]+[r/3]+[r/5])。
公式：k = r - ([r/2] + [r/3] + [r/5])
提示：移项时注意符号。
步骤 4/5
目标：分析r的取值与k的关系
对于每个0≤r≤29，右边是确定的整数，因此存在唯一的k使得等式成立。k可以是任意整数，但需保证x=30k+r非负？题目未限制x范围，通常x为实数，但解为整数？实际上x为整数时方程成立，因为左边为整数。
提示：注意k不一定非负，但x可以是任意实数？实际上原方程中x为实数，但取整函数定义在实数上，解可能非整数？但由方程形式，x必须为整数？
步骤 5/5
目标：确定解的个数
由于r有30种可能，每个r对应唯一的k，因此方程有30组解。注意k可以是负整数，但x=30k+r，所以解有无穷多？不对，因为k由r唯一确定，但k可以取任意整数？实际上对于每个r，k是确定的，所以只有30个解？
提示：需要检查k是否唯一：给定r，右边是定值，所以k唯一。因此解为x=30k+r，其中k由r决定，共30个解。
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