上海交通大学 2022年强基第36题
📝 题目
双曲线的渐近线方程为 $\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}}{5} x, y=-\sqrt{5} x+1$ ，求离心率。
💡 答案解析
【解析】因两条渐近线互相垂直 故渐近线与对称轴夹角为 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ $$ \therefore e=\sqrt{2} \text { 。 } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析渐近线方程形式
双曲线渐近线方程通常为y=±(b/a)x，但这里一条为y=(√5/5)x，另一条为y=-√5 x+1，后者有截距1，说明双曲线中心不在原点。
提示：注意渐近线可能不是标准形式，需考虑平移。
步骤 2/4
目标：判断渐近线是否垂直
计算两条渐近线的斜率：k1=√5/5，k2=-√5。乘积k1*k2=(√5/5)*(-√5)=-1，所以两条渐近线互相垂直。
公式：k1*k2=-1
提示：垂直条件用于后续推导。
步骤 3/4
目标：利用垂直渐近线性质
对于双曲线，若两条渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，其离心率e=√2。
提示：等轴双曲线特征：a=b，e=√2。
步骤 4/4
目标：得出离心率
因此，该双曲线的离心率e=√2。
公式：e=√2
提示：直接应用结论。
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