上海交通大学 2022年强基第37题
📝 题目
$\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AB}=\sqrt{2} \mathrm{BC}$ ， D 点在 AC 上，满足 $\mathrm{AD}=2 \mathrm{DC}$ ，且 $\angle A B D=2 \angle C B D$ ，求 $\angle A B C$ 。
💡 答案解析
【解析】 
$\displaystyle \because \frac{S_{A B D}}{S_{B C D}}=2=\frac{A B \sin 2 \theta}{B C \sin \theta}=\sqrt{2} \cdot 2 \cos \theta$ $\displaystyle \therefore \cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \theta=\frac{\pi}{4}$ $\displaystyle \therefore \angle A B C=\frac{3}{4} \pi$ 。
$\displaystyle \because \frac{S_{A B D}}{S_{B C D}}=2=\frac{A B \sin 2 \theta}{B C \sin \theta}=\sqrt{2} \cdot 2 \cos \theta$ $\displaystyle \therefore \cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \theta=\frac{\pi}{4}$ $\displaystyle \therefore \angle A B C=\frac{3}{4} \pi$ 。📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设未知角，表示已知条件
设∠CBD=θ，则∠ABD=2θ，∠ABC=3θ。由AB=√2 BC，AD=2DC，得面积比S_ABD:S_BCD=2:1。
公式：S = (1/2)ab sin C
提示：利用角平分线性质或面积比关系
步骤 2/5
目标：利用面积比建立方程
S_ABD = (1/2)·AB·BD·sin2θ，S_BCD = (1/2)·BC·BD·sinθ，面积比S_ABD/S_BCD = (AB sin2θ)/(BC sinθ)=2。
公式：S_ABD/S_BCD = (AB sin2θ)/(BC sinθ)
提示：注意BD是公共边，可约去
步骤 3/5
目标：代入已知边长比化简
代入AB/BC=√2，得 (√2 sin2θ)/sinθ = 2。利用倍角公式sin2θ=2sinθcosθ，化简得2√2 cosθ = 2。
公式：sin2θ = 2 sinθ cosθ
提示：sinθ>0，可约去
步骤 4/5
目标：解出θ
由2√2 cosθ = 2得cosθ = √2/2，故θ = π/4（锐角）。
公式：cosθ = √2/2 ⇒ θ = π/4
提示：注意角度范围
步骤 5/5
目标：计算所求角
∠ABC = 3θ = 3π/4。
公式：∠ABC = 3θ
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