上海交通大学 2022年强基第38题
📝 题目
$\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 是 $y^{2}=4 x$ 上的点， F 为抛物线焦点，满足 $\mathrm{MF}+\mathrm{NF}=2 \mathrm{MN}$ ，求 $\angle N F M$ 最大值。
💡 答案解析
【解析】 $\displaystyle \cos N F M=\frac{N F^{2}+M F^{2}-M N^{2}}{2 N F \cdot M F}$ 令 $x=N F \cdot M F=y$ ，则 $\displaystyle M N=\frac{x+y}{2}$ $\displaystyle \therefore \cos N F M=\frac{x^{2}+y^{2}-\frac{1}{4}\left(x^{2}+y^{2}+2 x y\right)}{2 x y}$ $$ \begin{gathered} =\frac{\frac{3}{4}\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{1}{2} x y}{2 x y} \\ \geq \frac{1}{2} \end{gathered} $$ $\displaystyle \therefore \angle N F M \leq \frac{\pi}{3}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立余弦定理表达式
在三角形NFM中，由余弦定理得cos∠NFM = (NF² + MF² - MN²) / (2·NF·MF)。
公式：cos∠NFM = (NF² + MF² - MN²) / (2·NF·MF)
提示：余弦定理是处理三角形边角关系的基本工具。
步骤 2/5
目标：引入变量简化表达式
设x = NF, y = MF，则MN = (x + y)/2。代入余弦定理表达式。
公式：MN = (x + y)/2
提示：利用条件MF+NF=2MN得到MN与x,y的关系。
步骤 3/5
目标：代入并化简余弦表达式
cos∠NFM = [x² + y² - (1/4)(x² + y² + 2xy)] / (2xy) = [ (3/4)(x² + y²) - (1/2)xy ] / (2xy)。
公式：cos∠NFM = [ (3/4)(x² + y²) - (1/2)xy ] / (2xy)
提示：注意平方和展开后的化简。
步骤 4/5
目标：应用基本不等式求最值
由x² + y² ≥ 2xy，得cos∠NFM ≥ [ (3/4)·2xy - (1/2)xy ] / (2xy) = (3/2 - 1/2)xy / (2xy) = 1/2。
公式：x² + y² ≥ 2xy
提示：基本不等式取等条件为x=y。
步骤 5/5
目标：得出角度最大值
cos∠NFM ≥ 1/2，且余弦函数在[0,π]上递减，所以∠NFM ≤ π/3，最大值为π/3。
公式：∠NFM ≤ π/3
提示：余弦值越小，角度越大。
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