上海交通大学 2022年强基第39题
📝 题目
$\displaystyle f(x)=\cos \left(w x-\frac{\pi}{6}\right)(w\gt 0)$ 满足 $\forall x \in R$ 均有 $\displaystyle f(x) \leq f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 成立，则 $W_{\text {min }}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos \left(\frac{\omega \pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)=1, \frac{\omega \pi}{4}-\frac{\pi}{6}=2 k \pi(k \in Z) \Rightarrow \omega_{\text {min }}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解题意，确定最大值条件
由题意，f(x) ≤ f(π/4)对所有x成立，说明f(π/4)是函数的最大值，即cos(ωπ/4 - π/6) = 1。
公式：cosθ = 1 ⇒ θ = 2kπ, k∈Z
提示：注意余弦函数的最大值为1，对应角度为2kπ。
步骤 2/3
目标：建立方程求解ω
令ωπ/4 - π/6 = 2kπ，k∈Z，解得ω = (8k + 2/3)。
公式：ωπ/4 - π/6 = 2kπ ⇒ ω = (8k + 2/3)
提示：解方程时注意通分和化简。
步骤 3/3
目标：求ω的最小正值
由于ω>0，取k=0得ω=2/3；k=-1得负值，故最小正ω为2/3。
公式：ω_min = 2/3
提示：k取整数，需保证ω>0。
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