上海交通大学 2022年强基第43题
📝 题目
$f(x)=|x+1|+|x|-|x-2|$ ，求 $f(f(x))+1=0$ 解的个数 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
【解析】如图，$f(t)=-1$ 解得 $t=0$ 或 $-2, f(x)=0$得 $\displaystyle x=\frac{1}{3}$ 或 $-3, f(x)=-2$ 得 $x=-1$ ，故方程有 3 个解。 
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简f(x)表达式
根据绝对值定义，分区间讨论：x<-1时，f(x)=-(x+1)-x+(x-2)=-x-3；-1≤x<0时，f(x)=(x+1)-x+(x-2)=x-1；0≤x<2时，f(x)=(x+1)+x+(x-2)=3x-1；x≥2时，f(x)=(x+1)+x-(x-2)=x+3。
公式：f(x)=|x+1|+|x|-|x-2|
提示：注意分段点：-1,0,2
步骤 2/5
目标：解内层方程f(t)=-1
令t=f(x)，则f(t)+1=0即f(t)=-1。分别在各段解f(t)=-1：t<-1时-t-3=-1得t=-2；-1≤t<0时t-1=-1得t=0（不在区间舍）；0≤t<2时3t-1=-1得t=0；t≥2时t+3=-1得t=-4（舍）。故t=0或-2。
公式：f(t)=-1
提示：注意t的范围
步骤 3/5
目标：解f(x)=0
解f(x)=0：x<-1时-x-3=0得x=-3；-1≤x<0时x-1=0得x=1（舍）；0≤x<2时3x-1=0得x=1/3；x≥2时x+3=0得x=-3（舍）。故x=-3或1/3。
公式：f(x)=0
提示：验证x是否在对应区间
步骤 4/5
目标：解f(x)=-2
解f(x)=-2：x<-1时-x-3=-2得x=-1（不在区间舍）；-1≤x<0时x-1=-2得x=-1；0≤x<2时3x-1=-2得x=-1/3（舍）；x≥2时x+3=-2得x=-5（舍）。故x=-1。
公式：f(x)=-2
提示：注意x=-1在-1≤x<0区间内
步骤 5/5
目标：汇总解的个数
由f(x)=0得x=-3和1/3；由f(x)=-2得x=-1。共3个解。
提示：不要重复计数
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