上海交通大学 2021年强基第1题
📝 题目
已知 $\triangle A B C, \tan C=-3 \tan A$ ，求 $\tan B$ 最大值。
💡 答案解析
$\quad \tan (A+B)=3 \tan A$ $$ \begin{aligned} & \frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}=3 \tan A \\ & \tan A+\tan B=3 \tan A-3 \tan ^{2} A \tan B \\ & \tan B=\frac{2 \tan A}{1+3 \tan ^{2} A} \leqslant \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用三角形内角和关系转化条件
由三角形内角和为π，得tanC = tan(π - (A+B)) = -tan(A+B)。结合已知tanC = -3tanA，得tan(A+B) = 3tanA。
公式：tan(π - θ) = -tanθ
提示：注意三角形中角的关系：C = π - (A+B)。
步骤 2/4
目标：展开tan(A+B)并整理
利用两角和正切公式：tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanA tanB)。代入tan(A+B)=3tanA，得(tanA+tanB)/(1-tanA tanB)=3tanA。
公式：tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanA tanB)
提示：注意分母不为零，即1-tanA tanB ≠ 0。
步骤 3/4
目标：解出tanB关于tanA的表达式
将方程两边乘以分母：tanA+tanB = 3tanA(1-tanA tanB) = 3tanA - 3tan²A tanB。移项得tanB + 3tan²A tanB = 2tanA，即tanB(1+3tan²A)=2tanA，所以tanB = 2tanA/(1+3tan²A)。
公式：代数变形
提示：将含tanB的项合并到一边。
步骤 4/4
目标：求tanB的最大值
令x=tanA，则tanB = 2x/(1+3x²)。当x>0时，由基本不等式：1+3x² ≥ 2√(3x²)=2√3 x，所以tanB ≤ 2x/(2√3 x)=1/√3。当且仅当3x²=1，即x=1/√3时取等。
公式：基本不等式：a+b ≥ 2√(ab) (a,b>0)
提示：注意tanA与tanB同号，由tanC=-3tanA知tanA与tanC异号，结合三角形内角，tanA>0，tanC<0，故tanB>0。
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