上海交通大学 2021年强基第2题
📝 题目
求边长为 1 的正五边形的对角线长。
💡 答案解析
$$ \begin{aligned} \angle A B C & =\frac{3 \pi}{5} \\ \therefore A C^{2} & =1+1-2 \cos \frac{3}{5} \pi \\ & =2-2 \cos \frac{3}{5} \pi=4 \sin ^{2} \frac{3}{10} \pi \end{aligned} $$ $$ \therefore A C=2 \sin \frac{3}{10} \pi=2 \sin 54^{\circ} $$ $\sin 54^{\circ}=\cos 36^{\circ}=2 \cos ^{2} 18^{\circ}-1=1-2 \sin ^{2} 18^{\circ}$ $\displaystyle \because \sin 18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \therefore A C=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定正五边形内角大小
正五边形内角和为540°，每个内角为108°，即3π/5。
公式：内角 = (n-2)×180°/n
提示：注意角度与弧度的转换。
步骤 2/7
目标：利用余弦定理求对角线长
在三角形ABC中，AB=BC=1，∠ABC=108°，由余弦定理得AC²=1²+1²-2×1×1×cos108°=2-2cos108°。
公式：c² = a² + b² - 2ab cos C
提示：cos108° = -cos72°。
步骤 3/7
目标：化简表达式
利用cos108° = -cos72° = -sin18°，或直接使用二倍角公式：2-2cos108° = 4sin²(54°)。
公式：1 - cosθ = 2sin²(θ/2)
提示：注意角度：108°/2=54°。
步骤 4/7
目标：得到对角线长度表达式
所以AC = 2sin54°。
公式：AC = 2 sin 54°
提示：sin54° = cos36°。
步骤 5/7
目标：计算sin18°的值
利用黄金三角形或方程求解：设x=sin18°，则cos36°=1-2x²，且cos36°=sin54°=2x√(1-x²)，解得x=(√5-1)/4。
公式：sin18° = (√5 - 1)/4
提示：也可用几何法。
步骤 6/7
目标：计算sin54°
sin54° = cos36° = 1 - 2sin²18° = 1 - 2[(√5-1)/4]² = (√5+1)/4。
公式：sin54° = (√5 + 1)/4
提示：注意化简。
步骤 7/7
目标：得到对角线长
AC = 2 × (√5+1)/4 = (√5+1)/2。
公式：对角线长 = (√5 + 1)/2
提示：即黄金比例φ。
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