上海交通大学 2021年强基第3题
📝 题目
实数 $a, b\gt 1$ ，满足 $\lg (a+b)=\lg a+\lg b$ ，求 $\lg (a-1)+\lg (b-1)$ 的值。
💡 答案解析
$\quad \because a+b=a b$ $$ \therefore a b-a-b+1=1 $$ 即 $(a-1)(b-1)=1$ $\therefore \lg (a-1)+\lg (b-1)=0$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用对数性质化简条件
由lg(a+b)=lg a+lg b，根据对数加法法则得lg(a+b)=lg(ab)，因此a+b=ab。
公式：lg x + lg y = lg(xy)
提示：注意对数定义域a>0,b>0，题目已给a,b>1，满足条件。
步骤 2/3
目标：将等式变形为乘积形式
由a+b=ab，移项得ab - a - b = 0，两边加1得ab - a - b + 1 = 1，即(a-1)(b-1)=1。
公式：(a-1)(b-1) = ab - a - b + 1
提示：配方技巧：ab - a - b + 1 = (a-1)(b-1)。
步骤 3/3
目标：计算目标表达式
lg(a-1)+lg(b-1)=lg[(a-1)(b-1)]=lg1=0。
公式：lg x + lg y = lg(xy), lg 1 = 0
提示：直接代入乘积为1即可。
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