上海交通大学 2021年强基第4题
📝 题目
数列 $\displaystyle a_{n}=\arctan \frac{1}{2 n^{2}}, S_{n}$ 表示前 $n$ 项和，求 $\lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}$ 。
💡 答案解析
因 $\displaystyle \frac{1}{2 n^{2}}=\frac{\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}}{1+\frac{1}{2 n-1} \cdot \frac{1}{2 n+1}}$ $\displaystyle \therefore a_{n}=\arctan \frac{1}{2 n^{2}}=\arctan \frac{1}{2 n-1}-\arctan \frac{1}{2 n+1}$ $\therefore S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ $$ =\arctan 1-\arctan \frac{1}{2 n+1} $$ $\displaystyle \therefore \lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}=\frac{\pi}{4}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将通项公式变形为可裂项的形式
观察到1/(2n^2)可以写成(1/(2n-1)-1/(2n+1))/(1+1/((2n-1)(2n+1)))，这类似于两角差的正切公式。
公式：\frac{1}{2n^2} = \frac{\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}}{1 + \frac{1}{2n-1} \cdot \frac{1}{2n+1}}
提示：注意分母是1加上两个数的乘积，提示使用正切差角公式。
步骤 2/4
目标：利用正切差角公式化简通项
由正切差角公式：tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα tanβ)，令tanα=1/(2n-1)，tanβ=1/(2n+1)，则a_n=arctan(1/(2n^2))=arctan(1/(2n-1))-arctan(1/(2n+1))。
公式：\arctan\frac{1}{2n^2} = \arctan\frac{1}{2n-1} - \arctan\frac{1}{2n+1}
提示：注意arctan的值域，确保差角在(-π/2, π/2)内。
步骤 3/4
目标：写出前n项和并裂项相消
S_n = (arctan1 - arctan1/3) + (arctan1/3 - arctan1/5) + ... + (arctan1/(2n-1) - arctan1/(2n+1)) = arctan1 - arctan1/(2n+1)。
公式：S_n = \arctan 1 - \arctan\frac{1}{2n+1}
提示：中间项全部抵消，只剩首尾两项。
步骤 4/4
目标：求极限
当n→∞时，arctan(1/(2n+1))→0，所以lim S_n = arctan1 = π/4。
公式：\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{\pi}{4}
提示：arctan1 = π/4。
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