上海交通大学 2021年强基第5题
📝 题目
求 $|\sqrt{2}-x|=\sqrt{2-x^{2}}$ 的实数根个数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析方程定义域
由√(2-x²)有意义，得2-x²≥0，即x²≤2，解得-√2≤x≤√2。
公式：2-x²≥0
提示：注意根号内非负
步骤 2/7
目标：去绝对值符号
分两种情况：当x≥√2时，|√2-x|=x-√2；当x<√2时，|√2-x|=√2-x。但定义域为[-√2,√2]，故x≥√2仅x=√2。
公式：|a| = a if a≥0, -a if a<0
提示：注意定义域限制
步骤 3/7
目标：情况1：x=√2
代入原方程：左边|√2-√2|=0，右边√(2-2)=0，成立。所以x=√2是一个根。
提示：直接验证
步骤 4/7
目标：情况2：x<√2
此时|√2-x|=√2-x，方程化为√2-x=√(2-x²)。两边平方得(√2-x)²=2-x²，即2-2√2x+x²=2-x²，化简得2x²-2√2x=0。
公式：(√2-x)²=2-x²
提示：平方时注意可能增根
步骤 5/7
目标：解二次方程
2x²-2√2x=0 => 2x(x-√2)=0，解得x=0或x=√2。但x<√2，故x=√2舍去，只取x=0。
公式：2x(x-√2)=0
提示：注意x<√2的条件
步骤 6/7
目标：验证x=0
代入原方程：左边|√2-0|=√2，右边√(2-0)=√2，成立。所以x=0是根。
提示：验证是否增根
步骤 7/7
目标：总结根个数
两个根：x=0和x=√2，故实数根个数为2。
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