上海交通大学 2020年强基第1题
📝 题目
已知方程 $2^{x}-\sin x=1$ ，则下列判断错误的是 。 A．方程没有正数解； B．方程有无穷多个解； C．方程有一个正数解； D．方程的实根小于 1
💡 答案解析
解：由题意可知 $$ 2^{x}=\sin x+1 $$ 由函数 $f(x)=2^{x}$ 和函数 $g(x)=1+\sin x$ 的图像可知 $$ \mathrm{A} \text { 错; } \mathrm{B} \text { 对; } \mathrm{C} \text { 对; } \mathrm{D} \text { 对 } $$ 则错误是 $A_{\text {c }}$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将方程转化为函数交点问题
将方程 $2^x - \sin x = 1$ 改写为 $2^x = \sin x + 1$，即求函数 $f(x)=2^x$ 与 $g(x)=1+\sin x$ 图像的交点横坐标。
公式：2^x = \sin x + 1
提示：分离函数，将指数函数与三角函数分开，便于图像分析。
步骤 2/7
目标：分析函数 $f(x)=2^x$ 的性质
$f(x)=2^x$ 是增函数，值域 $(0,+\infty)$，过点 $(0,1)$，当 $x<0$ 时 $00$ 时 $f(x)>1$。
提示：指数函数单调递增，注意特殊点。
步骤 3/7
目标：分析函数 $g(x)=1+\sin x$ 的性质
$g(x)=1+\sin x$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，值域 $[0,2]$，在 $x=2k\pi-\frac{\pi}{2}$ 时取最小值0，在 $x=2k\pi+\frac{\pi}{2}$ 时取最大值2。
提示：正弦函数值域为[-1,1]，平移后值域为[0,2]。
步骤 4/7
目标：判断 $x=0$ 是否为解
代入 $x=0$：$2^0=1$，$\sin 0+1=1$，相等，所以 $x=0$ 是一个解。注意 $x=0$ 不是正数，也不是负数。
提示：验证特殊点，$x=0$ 是解但非正非负。
步骤 5/7
目标：分析正数解的存在性
当 $x>0$ 时，$f(x)>1$，而 $g(x)\leq 2$。考虑 $x$ 很小时，$f(x)$ 略大于1，$g(x)$ 在1附近振荡，存在交点。例如 $x=\frac{\pi}{2}$ 时 $f(\frac{\pi}{2})\approx 2.97$，$g(\frac{\pi}{2})=2$，$f>g$；$x=0$ 时相等，故在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 内至少有一个正根。
提示：利用连续函数的介值定理，在区间内找函数值异号点。
步骤 6/7
目标：分析无穷多解的存在性
由于 $g(x)$ 周期振荡，而 $f(x)$ 单调递增，在每个周期内，当 $f(x)$ 值落在 $[0,2]$ 区间时，$g(x)$ 会多次与 $f(x)$ 相交。特别地，当 $x$ 为负且绝对值很大时，$f(x)$ 接近0，$g(x)$ 在0到2之间振荡，有无穷多个交点。
提示：指数函数在负无穷时趋于0，正弦函数周期振荡，导致无穷多解。
步骤 7/7
目标：判断选项正误
A：方程有正数解（如 $x\approx 0.6$），故A错误；B：有无穷多解（负半轴无数交点），正确；C：有一个正数解（实际上至少一个），正确；D：实根小于1？注意 $x=0$ 是根，小于1，但还有负根也小于1，正根是否小于1？当 $x=1$ 时 $2^1=2$，$\sin 1+1\approx 1.84$，$f>g$，而 $x=0$ 时相等，故正根在 $(0,1)$ 内，所以所有实根都小于1，D正确。因此错误的是A。
提示：逐一验证选项，注意D中实根包括0和负根，均小于1。
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