上海交通大学 2020年强基第2题
📝 题目
若三条直线 $x-2 y+2=0, x=2, x+k y=0$ 将平面划分成 6 个部分，则 $k$ 可能的取值情况是 ， A．只有唯一值 B．有两个不同值 C．有三个不同值 D．无穷多个值
💡 答案解析
解：由题意可知三条直线相交于同一个点或者任意两条直线平行都可以，则此时 $$ k=-1 \text { 或 } k=0 \text { 或 } k=-2 $$ 故正确答案为 C 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意，分析三条直线将平面划分成6个部分的条件
三条直线将平面划分成6个部分，意味着三条直线相交于同一点或存在平行线，且不能出现三线共点且平行的情况。
提示：考虑直线位置关系的所有可能情况。
步骤 2/6
目标：列出三条直线方程
直线1: x - 2y + 2 = 0，直线2: x = 2，直线3: x + ky = 0。
提示：注意直线2是垂直于x轴的直线。
步骤 3/6
目标：考虑三条直线相交于同一点的情况
先求直线1和直线2的交点：联立 x - 2y + 2 = 0 和 x = 2，解得 y = 2，交点为 (2, 2)。若直线3也过该点，则 2 + k*2 = 0，得 k = -1。
公式：2 + 2k = 0
提示：代入交点坐标到直线3方程。
步骤 4/6
目标：考虑存在平行线的情况
直线1斜率为1/2，直线2斜率不存在，直线3斜率为-1/k（k≠0）。平行情况：直线1与直线3平行：1/2 = -1/k，得 k = -2；直线2与直线3平行：直线2垂直，直线3也需垂直，即k=0。
公式：1/2 = -1/k 或 k=0
提示：注意斜率不存在的情况。
步骤 5/6
目标：验证是否满足划分成6个部分
当k=-1时，三线共点，平面被分成6部分；当k=-2时，直线1与直线3平行，与直线2相交，平面被分成6部分；当k=0时，直线2与直线3平行，与直线1相交，平面被分成6部分。
提示：画图验证每种情况。
步骤 6/6
目标：总结k的可能取值
k = -1, -2, 0，共三个不同值，对应选项C。
提示：注意不要遗漏。
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