上海交通大学 2020年强基第3题
📝 题目
非零实数 $a, b, c$ ，若 $\displaystyle \frac{b c}{a}, \frac{c a}{b}, \frac{a b}{c}$ 成等差数列，则下列不等式一定成立的是 。 A．$|b| \leqslant|a c|$ B．$\displaystyle |b| \leqslant \frac{|a|+|c|}{2}$ C．$b^{2} \geqslant|a c|$ D．$a^{2} \leqslant b^{2} \leqslant c^{2}$
💡 答案解析
解：由题意可知 $$ \frac{2 c a}{b}=\frac{b c}{a}+\frac{a b}{c} $$ 整理可得 $$ 2 a^{2} c^{2}=b^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right) $$ 由常见不等式可知 $$ 2 a^{2} c^{2}=b^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right) \geqslant 2 b^{2}|a c| $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：根据等差数列条件列出等式
由等差数列定义，2*(ca/b) = bc/a + ab/c，得到等式。
公式：2*(ca/b) = bc/a + ab/c
提示：注意等差数列中项公式
步骤 2/6
目标：化简等式
两边乘以abc（非零），得2a^2c^2 = b^2(a^2+c^2)。
公式：2a^2c^2 = b^2(a^2+c^2)
提示：乘以公分母时注意符号
步骤 3/6
目标：应用基本不等式
由a^2+c^2 ≥ 2|ac|，代入得2a^2c^2 ≥ 2b^2|ac|，即|ac| ≥ b^2。
公式：a^2+c^2 ≥ 2|ac|
提示：注意绝对值处理
步骤 4/6
目标：推导不等式
由|ac| ≥ b^2得b^2 ≤ |ac|，即|b| ≤ √|ac|，但选项A为|b| ≤ |ac|，不成立；选项C为b^2 ≥ |ac|，与结论相反。
公式：b^2 ≤ |ac|
提示：比较选项
步骤 5/6
目标：检验选项B
由均值不等式，|ac| ≤ ((|a|+|c|)/2)^2，结合b^2 ≤ |ac|得b^2 ≤ ((|a|+|c|)/2)^2，即|b| ≤ (|a|+|c|)/2，故B成立。
公式：|ac| ≤ ((|a|+|c|)/2)^2
提示：注意平方根
步骤 6/6
目标：排除其他选项
选项D不一定成立，例如a=1,c=1,b=1满足条件但a^2=b^2=c^2。故选B。
提示：举反例
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