上海交通大学 2020年强基第4题
📝 题目
若四面体的各个顶点到平面 $\alpha$ 距离都相等，则称平面 $\alpha$ 为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：与四个表面分别平行的面有 4 个，与两条对棱分别平行的平面有 3 个，所以这样的面一共有 7 个。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解中位面的定义
中位面是指四面体的各个顶点到该平面距离都相等的平面，即平面到四个顶点距离相等。
提示：注意距离相等包括正负号，即平面可能位于顶点同侧或异侧。
步骤 2/5
目标：分类讨论中位面的类型
中位面可分为两类：一类与四面体的一个面平行，另一类与两条对棱平行。
提示：四面体有4个面，3组对棱。
步骤 3/5
目标：计算第一类中位面的个数
与四面体的一个面平行的中位面：每个面都有一个平行平面使得四个顶点到该平面距离相等，共4个。
提示：该平面位于该面的对顶点与面之间，且到顶点和面的距离相等。
步骤 4/5
目标：计算第二类中位面的个数
与两条对棱平行的中位面：四面体有3组对棱，每组对棱确定一个平行平面，共3个。
提示：该平面与一组对棱平行，且到这两条棱的距离相等。
步骤 5/5
目标：求和得出总数
两类中位面个数相加：4 + 3 = 7。
提示：注意没有其他类型的中位面。
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