上海交通大学 2020年强基第5题
📝 题目
空间三条直线 $a, b, c$ 两两异面，则与三条直线都相交的直线有 $\_\_\_\_$条。
💡 答案解析
解：无穷多条。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意
三条直线a, b, c两两异面，即任意两条都不平行也不相交。求与这三条直线都相交的直线条数。
提示：异面直线定义：不在同一平面内且不相交的直线。
步骤 2/6
目标：构造模型
考虑一个平行六面体，取三条棱作为a, b, c，它们两两异面。例如，取上底面一条棱为a，下底面一条棱为b，侧面一条棱为c。
提示：利用几何体直观理解异面关系。
步骤 3/6
目标：寻找与三条直线都相交的直线
在平行六面体中，取一条直线同时穿过a, b, c。例如，连接a上一点与b上一点，再调整方向使其与c相交。实际上，这样的直线有无数条。
提示：通过调整交点位置可得到不同直线。
步骤 4/6
目标：一般性论证
在a上任取一点P，过P作平面与b平行，该平面与c相交于一点Q，则直线PQ与a、c相交，且与b平行？需调整：实际上，过P作直线与b相交，再调整与c相交。更严谨：存在唯一一条直线过P与b、c都相交？不唯一。
提示：利用公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行？这里需用异面直线性质。
步骤 5/6
目标：严格证明存在无穷多条
在a上任取一点A，过A和b作平面α，α与c交于一点C（若平行则无交点，但可调整A）。连接AC，则AC与a、c相交，但不一定与b相交。需过A作直线与b、c都相交：过A和b上一点B作直线，调整B使直线与c相交。由于b上点连续，存在无穷多解。
提示：利用连续性和参数调整。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，与三条两两异面的直线都相交的直线有无数条。
提示：答案：无穷多条。
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