上海交通大学 2020年强基第6题
📝 题目
用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长的最小值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解： $3 \sqrt{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立坐标系并设定截面位置
以正方体一个顶点为原点，建立空间直角坐标系，设截面与三条棱的交点坐标分别为(a,0,0)、(0,b,0)、(0,0,c)，其中0≤a,b,c≤1。
提示：利用对称性，可设截面与三条棱的交点参数。
步骤 2/5
目标：推导截面为六边形的条件
截面为六边形时，需与正方体的六个面都相交，且交线平行于棱。由对称性，截面方程x/a+y/b+z/c=1与各棱交点坐标满足参数范围，可得a+b≥1等条件。
公式：x/a+y/b+z/c=1
提示：六边形截面必过正方体六个面的各一条棱。
步骤 3/5
目标：计算六边形周长表达式
六边形各边长度由截面与棱交点决定，利用距离公式计算各边长度，并求和。通过对称性，六边形周长可表示为√2倍的一些线段和。
公式：周长 = √2[(a+b)+(b+c)+(c+a)] = 2√2(a+b+c)
提示：注意各边与坐标轴成45度角。
步骤 4/5
目标：利用条件求最小值
由截面为六边形，需满足a+b≥1, b+c≥1, c+a≥1，且a,b,c∈[0,1]。在约束下，a+b+c的最小值为1.5，此时a=b=c=0.5。
公式：a+b+c ≥ 1.5
提示：利用不等式或线性规划求最小值。
步骤 5/5
目标：计算最小周长
将a+b+c=1.5代入周长公式，得最小周长为2√2×1.5=3√2。
公式：周长_min = 2√2 × 1.5 = 3√2
提示：验证此时截面为正六边形。
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