上海交通大学 2020年强基第7题
📝 题目
函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,1)$ ，若 $\displaystyle c \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，则函数 $g(x)=f(x+c)+f(x-c)$ 的定义域为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解；由题意可知 而 $$ \begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} 0\lt x+c\lt 1 \\ 0\lt x-c\lt 1 \end{array}\right. \\ & 0\lt c\lt \frac{1}{2} \end{aligned} $$ 则函数 $g(x)$ 的定义域为 $(c, 1-c)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解复合函数定义域的含义
函数g(x)=f(x+c)+f(x-c)的定义域是使f(x+c)和f(x-c)都有意义的x的集合，即x+c和x-c都必须属于f的定义域(0,1)。
提示：注意定义域是自变量x的取值范围，不是中间变量的范围。
步骤 2/5
目标：根据定义域列出不等式组
由f的定义域为(0,1)，得0 < x+c < 1且0 < x-c < 1。
公式：0 < x+c < 1, 0 < x-c < 1
提示：两个条件必须同时满足，用大括号联立。
步骤 3/5
目标：解不等式组中的每个不等式
由0 < x+c < 1得-c < x < 1-c；由0 < x-c < 1得c < x < 1+c。
公式：-c < x < 1-c; c < x < 1+c
提示：注意c是正数，所以-c < c。
步骤 4/5
目标：取两个不等式解的交集
因为c>0，所以-c < c，且1-c < 1+c。取交集得c < x < 1-c。
公式：c < x < 1-c
提示：画数轴帮助理解交集。
步骤 5/5
目标：验证c的范围确保定义域非空
已知c∈(0,1/2)，则c < 1-c成立，所以定义域为(c, 1-c)。
提示：若c≥1/2，则定义域为空集。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。