上海交通大学 2020年强基第8题
📝 题目
小于 1000 的正整数中，既不是 5 的倍数也不是 7 的倍数的整数有 $\_\_\_\_$个。
💡 答案解析
解：由题意可知 $$ 999-\left(\frac{1000}{5}-1\right)-\frac{994}{7}+\frac{980}{35}=686 $$ 则不是 5 的倍数也不是 7 的倍数的整数有 686 个。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定总数
小于1000的正整数共有999个（从1到999）。
提示：注意不包括0。
步骤 2/6
目标：计算5的倍数的个数
5的倍数：从5到995，共⌊999/5⌋=199个。
公式：⌊999/5⌋=199
提示：也可用(1000/5)-1。
步骤 3/6
目标：计算7的倍数的个数
7的倍数：从7到994，共⌊999/7⌋=142个。
公式：⌊999/7⌋=142
提示：注意994是7的倍数。
步骤 4/6
目标：计算既是5又是7的倍数（即35的倍数）的个数
35的倍数：从35到980，共⌊999/35⌋=28个。
公式：⌊999/35⌋=28
提示：这些数被重复计算了。
步骤 5/6
目标：应用容斥原理
是5或7的倍数的个数 = 199 + 142 - 28 = 313。
公式：199+142-28=313
提示：减去重复的35的倍数。
步骤 6/6
目标：求既不是5也不是7的倍数的个数
总数减去是5或7的倍数的个数：999 - 313 = 686。
公式：999-313=686
提示：直接相减即可。
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