上海交通大学 2020年强基第9题
📝 题目
已知边长为 $a$ 的正三角形 $A B C, D, E$ 分别在边 $A B, B C$ 上，满足 $\displaystyle A D=B E=\frac{a}{3}$ ，连接 $A E, C D$ ，则 $A E$ 和 $C D$ 的夹角为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：易知 此时 $$ \begin{gathered} \overrightarrow{A E}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{C D}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C} \\ \cos \langle\overrightarrow{A E}, \overrightarrow{C D}\rangle=\frac{\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{C D}}{|\overrightarrow{A E}||\overrightarrow{C D}|}=-\frac{1}{2} \end{gathered} $$ $A E$ 与 $C D$ 的夹角为 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立向量表示
以A为原点，AB为x轴正方向建立坐标系，设A(0,0), B(a,0), C(a/2, √3a/2)。
提示：选择方便的坐标系简化计算。
步骤 2/7
目标：表示点D和E的坐标
由AD=a/3得D(a/3,0)；由BE=a/3得E在BC上，B到C向量为(-a/2, √3a/2)，故E=B+(1/3)(C-B)=(a - a/6, 0+√3a/6)=(5a/6, √3a/6)。
公式：E = B + (1/3)(C-B)
提示：注意比例关系。
步骤 3/7
目标：计算向量AE和CD
AE = (5a/6, √3a/6)，CD = D - C = (a/3 - a/2, 0 - √3a/2) = (-a/6, -√3a/2)。
提示：向量坐标相减。
步骤 4/7
目标：计算向量点积
AE·CD = (5a/6)*(-a/6) + (√3a/6)*(-√3a/2) = -5a²/36 - 3a²/12 = -5a²/36 - 9a²/36 = -14a²/36 = -7a²/18。
公式：点积公式
提示：注意符号。
步骤 5/7
目标：计算向量模长
|AE| = √[(5a/6)²+(√3a/6)²] = √(25a²/36+3a²/36)=√(28a²/36)=a√7/3；|CD| = √[(-a/6)²+(-√3a/2)²]=√(a²/36+3a²/4)=√(a²/36+27a²/36)=√(28a²/36)=a√7/3。
公式：模长公式
提示：注意化简。
步骤 6/7
目标：计算夹角余弦
cosθ = (AE·CD)/(|AE||CD|) = (-7a²/18) / (a²*7/9) = (-7/18)*(9/7) = -1/2。
公式：cosθ = (向量点积)/(模长乘积)
提示：约分。
步骤 7/7
目标：得出夹角
由于cosθ=-1/2，且夹角范围[0,π]，所以θ=2π/3。但题目问AE和CD的夹角，通常指锐角或较小角，故答案为π/3。
提示：注意夹角定义。
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