上海交通大学 2020年强基第10题
📝 题目
$\triangle A B C$ 的顶点坐标分别为 $A(3,4), B(6,0), C(-5,-2)$ ，则角 $A$ 的平分线所在的直线方程为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：易知 $\angle B A C=90^{\circ}$ ，设角 $A$ 的平分线所在的直线的倾斜角为 $\alpha$ ，则 $$ \tan \alpha=-\tan \left(45^{\circ}+\angle A B O\right)=-\frac{1+\frac{4}{3}}{1-\frac{4}{3}}=7 $$ 此时角 $A$ 平分线直线的方程为 $$ y=7(x-3)+4=7 x-17 $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算向量AB和AC的坐标
A(3,4), B(6,0), C(-5,-2)，则AB=(3,-4)，AC=(-8,-6)。
公式：AB = (6-3, 0-4) = (3,-4); AC = (-5-3, -2-4) = (-8,-6)
提示：注意向量坐标是终点减起点。
步骤 2/5
目标：判断角A是否为直角
计算AB·AC = 3*(-8) + (-4)*(-6) = -24+24=0，所以AB⊥AC，角A=90°。
公式：AB·AC = 0 ⇒ ∠A = 90°
提示：向量点积为零则垂直。
步骤 3/5
目标：求直线AB的倾斜角的正切
直线AB的斜率k_AB = (0-4)/(6-3) = -4/3，所以tan∠ABO = |k_AB| = 4/3（∠ABO是AB与x轴夹角）。
公式：k_AB = (y2-y1)/(x2-x1) = -4/3
提示：斜率等于倾斜角的正切。
步骤 4/5
目标：计算角A平分线的倾斜角的正切
角A平分线方向与AB夹角45°，且角A=90°，故平分线倾斜角α = 90° + (90° - ∠ABO)/2? 更直接：tanα = -tan(45°+∠ABO) = - (1+4/3)/(1-4/3) = - (7/3)/(-1/3) = 7。
公式：tanα = -tan(45°+∠ABO) = - (1+tan∠ABO)/(1-tan∠ABO) = 7
提示：利用两角和的正切公式，注意符号。
步骤 5/5
目标：写出角平分线方程
过点A(3,4)，斜率k=7，直线方程为y-4=7(x-3)，即y=7x-17。
公式：y - y0 = k(x - x0)
提示：点斜式方程。
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