上海交通大学 2020年强基第13题
📝 题目
过抛物线 $y^{2}=2 p x(p\gt 0)$ 的焦点 $F$ 作直线 $m$ 交抛物线于 $A, B$ 两点，若 $A, B$ 横坐标之和为 5 ，则直线 $m$ 的条数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：设直线 $\displaystyle m: x=t y+\frac{p}{2}$ ，联立 $$ \left\{\begin{array}{l} x=t y+\frac{p}{2} \\ y^{2}=2 p x \end{array}\right. $$ 整理可得 而 $$ \begin{gathered} y^{2}-2 p t y-p^{2}=0 \\ x_{1}+x_{2}=t\left(y_{1}+y_{2}\right)+p=5 \end{gathered} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设直线方程
由于直线过焦点F(p/2,0)，设直线m的参数方程为x=ty+p/2，t为斜率倒数。
公式：x = t y + p/2
提示：设x=ty+p/2可避免讨论斜率不存在的情况。
步骤 2/8
目标：联立方程
将直线方程代入抛物线y²=2px，消去x得到关于y的二次方程。
公式：y² = 2p(ty + p/2)
提示：代入后整理成标准二次形式。
步骤 3/8
目标：化简方程
展开并移项得y² - 2pty - p² = 0。
公式：y² - 2p t y - p² = 0
提示：注意常数项为-p²。
步骤 4/8
目标：利用韦达定理
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=2pt，y1y2=-p²。
公式：y1+y2=2pt, y1y2=-p²
提示：韦达定理直接由二次方程系数得出。
步骤 5/8
目标：表达横坐标和
由直线方程，x1+x2 = t(y1+y2) + p = t·2pt + p = 2p t² + p。
公式：x1+x2 = 2p t² + p
提示：利用y1+y2代入。
步骤 6/8
目标：建立方程
已知x1+x2=5，所以2p t² + p = 5，即2p t² = 5 - p。
公式：2p t² = 5 - p
提示：p>0，注意t²非负。
步骤 7/8
目标：讨论解的个数
当5-p>0即00，有两个t值（互为相反数），对应两条直线；当p=5时，t=0，一条直线；当p>5时，无解。
公式：t² = (5-p)/(2p)
提示：t的个数即直线条数。
步骤 8/8
目标：得出结论
由于p>0，直线条数取决于p：05时0条。题目未给p具体值，故答案为：当05时0条。
提示：注意题目可能隐含p为定值，但此处需分类讨论。
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