上海交通大学 2020年强基第14题
📝 题目
用同样大小的正 $n$ 边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则 $n$ 的值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：由题意可知 则 $$ m \times \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}=360^{\circ}\left(m \in N^{*}\right) $$ 此时 $$ \begin{aligned} m= & \frac{2 n}{n-2}=2+\frac{4}{n-2} \\ & n=3,4,6 \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解平铺条件
用正n边形平铺平面，要求每个顶点处多边形内角和为360°，且无重叠。
提示：考虑顶点处角度和
步骤 2/6
目标：建立方程
设每个顶点有m个正n边形，则m个内角之和为360°。正n边形内角为(n-2)×180°/n，故m×(n-2)×180°/n = 360°。
公式：m × (n-2)×180°/n = 360°
提示：内角公式
步骤 3/6
目标：化简方程
两边除以180°得：m×(n-2)/n = 2，即m = 2n/(n-2)。
公式：m = 2n/(n-2)
提示：代数化简
步骤 4/6
目标：分离整数部分
将m写成整数部分加分数：m = 2 + 4/(n-2)。
公式：m = 2 + 4/(n-2)
提示：多项式除法
步骤 5/6
目标：确定n的可能值
m为正整数，故4/(n-2)为整数，即n-2是4的正因数。n-2=1,2,4，对应n=3,4,6。
提示：整除条件
步骤 6/6
目标：验证结果
n=3时正三角形，m=6；n=4时正方形，m=4；n=6时正六边形，m=3。均能平铺。
提示：常见平铺图形
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