上海交通大学 2020年强基第15题
📝 题目
若集合 $M$ 中任意两个元素的和差积商的运算结果都在 $M$ 中，则称 $M$ 是封闭集合，下列集合： （1）$R$ ； （2）$Q_{\text {；}}$ （3）$C_{R} Q$ ； （4）$\{x \mid x=m+\sqrt{2} n, m, n \in Z\}$ 中，封闭集合的个数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解；由题意可知（1），（2）满足题意；对于（3）：$\sqrt{2} \in C_{R} Q, 2 \sqrt{2} \in C_{R} Q$ ，而 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2 \notin C_{R} Q$ ，故 （3）不是封闭集合；对于（4），$\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}=\frac{8}{7}+\frac{5 \sqrt{2}}{7} \notin\{x \mid x=m+\sqrt{2} n, m, n \in Z\}$ ，故（4）不是封 闭集合 综述所述：封闭集合的个数为 2 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解封闭集合的定义
封闭集合要求集合中任意两个元素的和、差、积、商（除数不为0）结果仍在集合中。
提示：注意运算封闭性需对所有元素对成立。
步骤 2/6
目标：判断集合(1) R是否封闭
实数集R对加、减、乘、除（除数非零）封闭，因此(1)是封闭集合。
提示：实数域是封闭的。
步骤 3/6
目标：判断集合(2) Q是否封闭
有理数集Q对加、减、乘、除（除数非零）封闭，因此(2)是封闭集合。
提示：有理数域是封闭的。
步骤 4/6
目标：判断集合(3) 无理数集是否封闭
取√2和2√2，它们的商为2，2是有理数，不属于无理数集，因此(3)不封闭。
提示：反例：√2和2√2的商为2。
步骤 5/6
目标：判断集合(4) {x|x=m+√2 n, m,n∈Z}是否封闭
取(2+√2)和(3-√2)，计算商得(8/7)+(5√2/7)，系数8/7和5/7不是整数，因此结果不在集合中，不封闭。
提示：反例：两个元素的商不在集合中。
步骤 6/6
目标：总结封闭集合个数
只有(1)和(2)是封闭集合，因此个数为2。
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