上海交通大学 2020年强基第16题
📝 题目
方程 $x(x+1)+1=y^{2}$ 的正整数解有 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：由题意可知 $$ y\gt x $$ 又 $$ x(x+1)=(y-1)(y+1) $$ 而 $$ y+1\gt x+1 $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将原方程变形为乘积形式
原方程 x(x+1)+1=y^2 可化为 x^2+x+1=y^2，移项得 y^2 - x^2 = x+1，即 (y-x)(y+x)=x+1。
公式：(y-x)(y+x)=x+1
提示：注意平方差公式的应用
步骤 2/5
目标：分析正整数解的条件
由于 x,y 为正整数，且 y>x，设 y-x=a，y+x=b，则 a,b 为正整数，且 a
公式：a+b=2y, b-a=2x
提示：a和b同奇偶是关键
步骤 3/5
目标：推导a和b的关系
由 ab=x+1 和 b-a=2x，消去x得 b-a=2(ab-1)，整理得 2ab - b + a - 2 = 0，即 (2a-1)(2b+1)=3。
公式：(2a-1)(2b+1)=3
提示：注意因式分解技巧
步骤 4/5
目标：求解a和b的可能值
由于a,b为正整数，2a-1和2b+1为正整数，且2a-1<2b+1，乘积为3，故只有2a-1=1，2b+1=3，解得a=1，b=1。但b=1与a
公式：2a-1=1, 2b+1=3
提示：注意检查大小关系
步骤 5/5
目标：得出最终结论
因此原方程无正整数解，答案为0。
提示：无解也是解
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