上海交通大学 2020年强基第17题
📝 题目
若 $a, b\lt 0$ ，且满足 $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}$ ，则 $\displaystyle \frac{a}{b}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：由题意可知 $$ a^{2}-b^{2}=a b $$ 则 $$ \left(\frac{a}{b}\right)^{2}-\left(\frac{a}{b}\right)-1=0 $$ 又 $$ a, b\lt 0 $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将分式方程化为整式方程
由1/a + 1/b = 1/(a-b)，两边乘以ab(a-b)得b(a-b)+a(a-b)=ab，即ab-b^2+a^2-ab=ab，化简得a^2 - b^2 = ab。
公式：1/a + 1/b = 1/(a-b) => a^2 - b^2 = ab
提示：注意分母不为零，a,b<0且a≠b。
步骤 2/4
目标：转化为关于a/b的方程
将a^2 - b^2 = ab两边除以b^2（b≠0），得(a/b)^2 - 1 = a/b，即(a/b)^2 - (a/b) - 1 = 0。
公式：(a/b)^2 - (a/b) - 1 = 0
提示：除以b^2时确保b≠0，题目中b<0满足条件。
步骤 3/4
目标：解二次方程求a/b
令x = a/b，则x^2 - x - 1 = 0，解得x = (1 ± √5)/2。
公式：x = (1 ± √5)/2
提示：使用求根公式x = [1 ± √(1+4)]/2。
步骤 4/4
目标：根据条件a,b<0确定符号
由于a,b<0，所以a/b > 0。两个根中(1-√5)/2 < 0，舍去；故a/b = (1+√5)/2。
公式：a/b = (1+√5)/2
提示：负负得正，比值应为正数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。