上海交通大学 2020年强基第18题
📝 题目
设 $m(a)$ 是函数 $f(x)=\left|x^{2}-a\right|$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值，则 $m(a)$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：情形一：当 $a \leqslant 0$ 时，此时 $$ m(a)=1-a \geqslant 1 $$ 情形二：当 $a \geqslant 1$ 时，此时 $$ m(a)=a \geqslant 1 $$ 情形三：当 $0
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析a≤0时f(x)的最大值
当a≤0时，x²-a≥0恒成立，故f(x)=x²-a，在[-1,1]上最大值为1-a。
公式：f(x)=x^2-a
提示：注意绝对值内非负，直接去掉绝对值。
步骤 2/4
目标：分析a≥1时f(x)的最大值
当a≥1时，x²-a≤0恒成立，故f(x)=a-x²，在[-1,1]上最大值为a。
公式：f(x)=a-x^2
提示：绝对值内非正，去掉绝对值加负号。
步骤 3/4
目标：分析0
此时f(x)=|x²-a|，在x=0处值为a，在x=±1处值为1-a，最大值取两者较大者。
公式：m(a)=max{a, 1-a}
提示：比较端点与极值点。
步骤 4/4
目标：求m(a)的最小值
当a≤0时m(a)=1-a≥1；当a≥1时m(a)=a≥1；当0
公式：m(a)≥1/2
提示：分段函数最小值在各段最小值中取最小。
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