上海交通大学 2020年强基第19题
📝 题目
立方体 8 个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有 $\_\_\_\_$对。
💡 答案解析
解：把正方体的 8 个顶点看作是上底面 4 个顶点，下底面 4 个顶点，则这个 8 个顶点可以构成的 三棱锥情况有以下两种 （1）上底面取 1 个点，下底面取 3 个点或上底面取 3 个点，下底面取 1 个点，此时三棱雉的个数为 $$ 2 C_{4}^{1} C_{4}^{3}=32 $$ （2）上下底面各取 2 个点，此时三棱雉个数为 $$ C_{4}^{2} C_{4}^{2}-4 \times 2-2=26 $$ 则异面直线的对数为 $$ (32+26) \times 3=174 \text { 对。 }
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题：求立方体8个顶点中任意两点连线构成的异面直线对数。
异面直线对等价于三棱锥的棱对，每个三棱锥有3对异面直线。因此，先求所有三棱锥个数，再乘以3。
公式：异面直线对数 = 三棱锥个数 × 3
提示：注意：三棱锥的顶点不共面，且每个三棱锥的6条棱中恰有3对异面直线。
步骤 2/6
目标：分类计算三棱锥个数：按顶点来源分类。
将8个顶点分为上底面4个和下底面4个。三棱锥的顶点可能来自：①上1下3或上3下1；②上2下2。
提示：分类讨论是组合计数常用方法。
步骤 3/6
目标：计算情况①：上底面取1个，下底面取3个，或上底面取3个，下底面取1个。
上1下3：C(4,1)×C(4,3)=4×4=16；上3下1同理16，共32个三棱锥。
公式：C(4,1)×C(4,3) + C(4,3)×C(4,1) = 16+16=32
提示：注意对称性，直接乘以2。
步骤 4/6
目标：计算情况②：上下底面各取2个点。
先选点：C(4,2)×C(4,2)=6×6=36。但需排除四点共面的情况：①上下底面各取2点且连线平行时，有4×2=8种（每组对面有2种）；②上下底面各取2点且为对角面时，有2种（如上下底面对角线）。共排除10种，得26个三棱锥。
公式：C(4,2)×C(4,2) - 4×2 - 2 = 36 - 8 - 2 = 26
提示：四点共面包括：对面平行线（4组对面，每组2种）和对角面（2种）。
步骤 5/6
目标：计算总三棱锥个数。
情况①32个，情况②26个，总三棱锥个数为32+26=58。
公式：32 + 26 = 58
步骤 6/6
目标：计算异面直线对数。
每个三棱锥有3对异面直线，总对数为58×3=174。
公式：58 × 3 = 174
提示：注意：每条异面直线对恰好属于一个三棱锥？实际上，每条异面直线对唯一确定一个三棱锥（由四个顶点构成），因此计数正确。
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