上海交通大学 2020年强基第20题
📝 题目
矩形 $A B C D$ 的边 $A B=\sqrt{2}$ ，过 $B, D$ 作直线 $A C$ 的垂线，垂足分别为 $E, F$ ，且 $E, F$ 分别为 $A C$的三等分点，沿着 $A C$ 将矩形翻折，使得二面角 $B-A C-D$ 成直角，则 $B D$ 长度为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：设 $A F=F E=E C=x$ ，则 $$ \cos \angle B A E=\frac{2 x}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3 x} $$ 解得 $$ x=\frac{\sqrt{3}}{3} $$ 而 $$ B D=\sqrt{2 B E^{2}+x^{2}}=\sqrt{4-7 x^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{3} . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设未知数表示三等分点距离
设AF=FE=EC=x，则AC=3x。
公式：AC = 3x
提示：利用三等分点条件简化计算。
步骤 2/6
目标：利用矩形边长和余弦定理求x
在Rt△ABE中，AB=√2，AE=2x，cos∠BAE=AE/AB=2x/√2。又在△ABC中，cos∠BAC=AB/AC=√2/(3x)。由∠BAE=∠BAC得方程2x/√2=√2/(3x)。
公式：cos∠BAE = AE/AB = 2x/√2, cos∠BAC = AB/AC = √2/(3x)
提示：注意∠BAE与∠BAC是同一个角。
步骤 3/6
目标：解方程求出x
由2x/√2 = √2/(3x)得2x·3x = √2·√2，即6x²=2，解得x=√3/3。
公式：6x²=2 ⇒ x=√3/3
提示：注意x为正数。
步骤 4/6
目标：计算翻折后BD的长度
翻折后二面角为直角，即平面ABC⊥平面ADC。在翻折后的空间中，BE⊥AC，DF⊥AC，且BE=DF。由勾股定理，BD²=BE²+EF²+DF²=2BE²+EF²。
公式：BD² = 2BE² + EF²
提示：利用空间直角坐标系或向量法。
步骤 5/6
目标：计算BE和EF
在Rt△ABE中，BE²=AB²-AE²=(√2)²-(2x)²=2-4x²。EF=x，代入x=√3/3得BE²=2-4/3=2/3，EF²=1/3。
公式：BE² = AB² - AE² = 2 - 4x²
提示：注意x已求出。
步骤 6/6
目标：代入求BD
BD²=2×(2/3)+1/3=4/3+1/3=5/3，所以BD=√(5/3)=√15/3。
公式：BD = √(5/3) = √15/3
提示：结果化简。
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