上海交通大学 2020年强基第21题
📝 题目
平面上给定 5 个点，任意三点不共线，过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直，过 5 点中任意一点向另外四点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的 5 点）个数至多有 $\_\_\_\_$个。
💡 答案解析
解：假设这 5 个点分别为 $a, b, c, d, e$ ，其中 $b, c, d, e$ 这四个点共有 $C_{4}^{2}=6$ 条连线，此时点 $a$ 可以向这 6 条直线作 6 条垂线，同理可得垂线一共有 $5 \times 6=30$ 条，此时垂线的交点个数至多为 $$ C_{30}^{2}=435 \text { 个 } $$ （1）点 $a$ 可以向 $b, c, d, e$ 这四个点的 6 条连线作垂线，此时共有 $C_{6}^{2}=15$ 个点，同理可得以其中一个点向剩下 4 个点连线作垂线共有 $5 \times 15=75$ 个 （2）点 $c, d, e$ 向点 $a, b$ 垂线，此时可以作三条垂线，这三条垂线相互平行，没有交点，此时有 $C_{3}^{2}=3$ ，同理可得有 $C_{5}^{2} C_{3}^{2}=30$ 个 （3）在 $a, b, c, d, e$ 这 5 个点中，任意的三个点可以构成一个三角形，此时这个三角形的三个高相交于一点（此时三条垂线只有一个点），此时有 $C_{5}^{3} C_{3}^{2}-C_{5}^{3}=20$ 个点 则所有这些垂线的交点（不包括已知的 5 点）个数至多有 $$ 435-75-30-20=310 \text { 个。 } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算所有垂线的总数
5个点中任取4点有C(5,4)=5种选法，每种选法中4点有C(4,2)=6条连线，过该点向这6条线作垂线，共5×6=30条垂线。
公式：30 = 5 × C(4,2)
提示：注意每个点向其他4点连线作垂线，但连线是其他4点之间的连线。
步骤 2/6
目标：计算所有垂线两两相交的最大交点数
30条垂线两两相交，最多有C(30,2)=435个交点。但需排除重复和无效交点。
公式：C(30,2)=435
提示：这是不考虑任何约束的最大可能值。
步骤 3/6
目标：排除第一类重复交点：同一点出发的垂线交点
从一个点出发的6条垂线，它们两两相交于该点本身，但该点已知，不计入。每点有C(6,2)=15个交点，5点共5×15=75个交点需排除。
公式：5 × C(6,2)=75
提示：这些交点就是已知的5个点，题目要求不包括已知点。
步骤 4/6
目标：排除第二类重复交点：平行垂线组产生的无效交点
考虑两个点（如a,b），其余三点c,d,e向直线ab作垂线，这三条垂线互相平行，无交点。每组平行线有C(3,2)=3个交点（实际不存在）。共有C(5,2)=10组，故排除10×3=30个。
公式：C(5,2) × C(3,2)=30
提示：注意：平行线没有交点，但我们在计算中误算了它们。
步骤 5/6
目标：排除第三类重复交点：三角形垂心重复计数
任意三点构成三角形，三条高线交于垂心。每个三角形有3条高，它们交于一点，但我们在C(30,2)中算了C(3,2)=3个交点，实际只有1个。每个三角形多算了2个交点。共有C(5,3)=10个三角形，多算10×2=20个。
公式：C(5,3) × (C(3,2)-1)=20
提示：注意：三角形的高线是垂线的一部分。
步骤 6/6
目标：计算最终交点个数
从最大交点数435中依次减去三类重复：435 - 75 - 30 - 20 = 310。
公式：435 - 75 - 30 - 20 = 310
提示：注意顺序不影响结果。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。