上海交通大学 2020年强基第22题
📝 题目
实数 $a, b$ 满足 $(a+b)^{59}=-1,(a-b)^{60}=1$ ，则 $\sum_{n=1}^{60}\left(a^{n}+b^{n}\right)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：由题意可知 $$ \left\{\begin{array} { l } { a + b = - 1 } \\ { a - b = 1 } \end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l} a+b=-1 \\ a-b=-1 \end{array}\right.\right. $$ 解得 $$ \left\{\begin{array} { l } { a = 0 } \\ { b = - 1 } \end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l}
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析已知条件
由(a+b)^59=-1得a+b=-1；由(a-b)^60=1得a-b=±1。
公式：(a+b)^59=-1 ⇒ a+b=-1; (a-b)^60=1 ⇒ a-b=±1
提示：注意奇次幂和偶次幂的性质
步骤 2/4
目标：解方程组求a,b
分两种情况：① a+b=-1, a-b=1 ⇒ a=0, b=-1；② a+b=-1, a-b=-1 ⇒ a=-1, b=0。
公式：a=0,b=-1 或 a=-1,b=0
提示：解线性方程组
步骤 3/4
目标：计算a^n+b^n
当a=0,b=-1时，a^n+b^n=0+(-1)^n=(-1)^n；当a=-1,b=0时，a^n+b^n=(-1)^n+0=(-1)^n。
公式：a^n+b^n=(-1)^n
提示：注意0的n次幂为0
步骤 4/4
目标：求和
∑_{n=1}^{60} (-1)^n = -1+1-1+...+1（共60项，奇偶各30项）=0。
公式：∑_{n=1}^{60} (-1)^n = 0
提示：等比数列求和或直接配对
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