上海交通大学 2020年强基第23题
📝 题目
函数 $\displaystyle y=\frac{4 \sin x \cos x+3}{\sin x+\cos x}, x \in\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：令 $t=\sin x+\cos x$ 则 $$ \sin x \cos x=\frac{t^{2}-1}{2}(0\lt t \leqslant \sqrt{2}) $$ 此时 $$ y=\frac{2\left(t^{2}-1\right)+3}{t}=2 t+\frac{1}{t} $$ 由打勾函数单调性可知 $$ y \in[2 \sqrt{2},+\infty) $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入变量代换，简化表达式
令 t = sin x + cos x，则 t 的取值范围由 x 的定义域决定。
公式：t = sin x + cos x
提示：注意 t 的范围：x∈(-π/4, 3π/4) 时，t∈(0, √2]
步骤 2/6
目标：用 t 表示 sin x cos x
由 (sin x + cos x)^2 = 1 + 2 sin x cos x，得 sin x cos x = (t^2 - 1)/2。
公式：sin x cos x = (t^2 - 1)/2
提示：平方关系是常用技巧
步骤 3/6
目标：将原函数转化为关于 t 的函数
代入 y = (4 sin x cos x + 3)/(sin x + cos x)，得 y = (4*(t^2-1)/2 + 3)/t = (2t^2 - 2 + 3)/t = (2t^2 + 1)/t = 2t + 1/t。
公式：y = 2t + 1/t
提示：化简时注意分子合并
步骤 4/6
目标：确定 t 的取值范围
x∈(-π/4, 3π/4) 时，t = √2 sin(x+π/4) ∈ (0, √2]，注意端点开闭。
公式：t ∈ (0, √2]
提示：利用辅助角公式求值域
步骤 5/6
目标：利用对勾函数单调性求最小值
函数 y = 2t + 1/t 在 (0, √2] 上单调递减（因为对勾函数在 (0, √(1/2)) 递减，但 √2 > √(1/2)，实际在 (0, √2] 上先减后增？需验证：导数 y' = 2 - 1/t^2，令 y'=0 得 t=√2/2，故在 (0, √2/2] 递减，[√2/2, √2] 递增。最小值在 t=√2/2 处取得，但 t=√2/2 在定义域内吗？√2/2 ≈ 0.707，而 t∈(0, √2] 包含该点，故最小值为 y(√2/2)=2*(√2/2)+1/(√2/2)=√2+√2=2√2。
公式：y_min = 2√2
提示：注意对勾函数单调区间，求导或利用基本不等式
步骤 6/6
目标：得出最终答案
函数的最小值为 2√2。
提示：检查定义域端点是否可取
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