同济大学 2023年强基第2题
📝 题目
求 $\sin ^{2} 20+\sin ^{2} 40+\sin 20 \sin 40$ 的值。
💡 答案解析
$\displaystyle \frac{3}{4}$ 解析： $\sin ^{2} 20^{\circ}+\sin ^{2} 40^{\circ}+\sin 20^{\circ} \sin 40^{\circ}$ $$ \begin{aligned} & =\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\cos 40^{\circ}+\cos 80^{\circ}-\cos 20^{\circ}\right) \\ & =\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(2 \cos 60^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ}-\cos 20^{\circ}\right) \\ & =\frac{3}{4} \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用降幂公式将平方项转化为余弦形式
使用公式 sin²θ = (1-cos2θ)/2，将 sin²20° 和 sin²40° 分别转化为 (1-cos40°)/2 和 (1-cos80°)/2。
公式：sin²θ = (1-cos2θ)/2
提示：注意角度加倍：20°→40°，40°→80°。
步骤 2/6
目标：将原式用余弦表示并合并常数项
原式 = (1-cos40°)/2 + (1-cos80°)/2 + sin20°sin40° = 1 - (cos40°+cos80°)/2 + sin20°sin40°。
公式：无新公式
提示：常数项 1/2+1/2=1。
步骤 3/6
目标：利用积化和差公式处理 sin20°sin40°
使用公式 sinα sinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)]/2，得 sin20°sin40° = (cos20°-cos60°)/2 = (cos20°-1/2)/2。
公式：sinα sinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)]/2
提示：cos60°=1/2。
步骤 4/6
目标：合并所有项得到关于余弦的表达式
原式 = 1 - (cos40°+cos80°)/2 + (cos20°-1/2)/2 = 1 - (cos40°+cos80°)/2 + cos20°/2 - 1/4 = 3/4 - (cos40°+cos80°-cos20°)/2。
公式：无新公式
提示：注意合并常数项：1 - 1/4 = 3/4。
步骤 5/6
目标：利用和差化积公式化简 cos40°+cos80°
使用公式 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)，得 cos40°+cos80°=2cos60°cos20°=2*(1/2)*cos20°=cos20°。
公式：cosA+cosB=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)
提示：cos60°=1/2。
步骤 6/6
目标：代入化简结果并计算最终值
将 cos40°+cos80°=cos20° 代入，得原式 = 3/4 - (cos20°-cos20°)/2 = 3/4 - 0 = 3/4。
公式：无新公式
提示：括号内相减为0。
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