同济大学 2023年强基第3题
📝 题目
$a_{n+1}=a_{n}^{2}+a_{n}$ ，求 $\displaystyle \left[\sum_{n=1}^{2023} \frac{1}{a_{n}+1}\right]$ 。
💡 答案解析
2 解析： $$ a_{n+1}=a_{n}\left(a_{n}+1\right) \Rightarrow \frac{1}{a_{n}+1}=\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}} $$ $$ \text { 故 }\left[\sum_{n=1}^{2023} \frac{1}{a_{n}+1}\right]=\left[\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{2024}}\right]=\left[3-\frac{1}{a_{2024}}\right]=2 $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将递推式变形为裂项形式
由 a_{n+1}=a_n^2+a_n，提取公因式得 a_{n+1}=a_n(a_n+1)，然后取倒数并裂项：1/(a_n+1)=1/a_n - 1/a_{n+1}。
公式：a_{n+1}=a_n(a_n+1) ⇒ 1/(a_n+1)=1/a_n - 1/a_{n+1}
提示：注意裂项后分母的对应关系，确保等式成立。
步骤 2/3
目标：对求和式进行裂项相消
将求和式 ∑_{n=1}^{2023} 1/(a_n+1) 中的每一项替换为 1/a_n - 1/a_{n+1}，得到 (1/a_1 - 1/a_2)+(1/a_2 - 1/a_3)+...+(1/a_{2023} - 1/a_{2024})，中间项抵消，结果为 1/a_1 - 1/a_{2024}。
公式：∑_{n=1}^{2023} 1/(a_n+1) = 1/a_1 - 1/a_{2024}
提示：裂项相消时注意首项和末项保留。
步骤 3/3
目标：代入已知条件并求整数部分
由题目条件 a_1=1/3，代入得 1/a_1=3。因此原式 = 3 - 1/a_{2024}。由于 a_{2024}>0，故 1/a_{2024}>0，所以 3 - 1/a_{2024} 介于2和3之间，取整得2。
公式：原式 = 3 - 1/a_{2024}，取整为2
提示：注意 a_n 为正数，因此 1/a_{2024} 为正且小于1。
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