南京大学 2023年强基第1题
📝 题目
直线 $l$ 平分圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-4 y=0$ 且不经过第四象限，求斜率的取值范围。
💡 答案解析
$[0,2]$ 解：由题意可知直线经过圆心，此时 $0 \leqslant k \leqslant 2$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将圆方程化为标准形式，求出圆心坐标
将圆方程 x^2+y^2-2x-4y=0 配方得 (x-1)^2+(y-2)^2=5，圆心为 (1,2)。
公式：圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
提示：配方时注意一次项系数的一半平方。
步骤 2/5
目标：由直线平分圆得出直线过圆心
直线平分圆意味着直线经过圆心，因为只有直径才能平分圆。所以直线过点 (1,2)。
公式：平分圆的直线必过圆心
提示：理解几何意义。
步骤 3/5
目标：设直线方程并代入圆心
设直线斜率为k，方程为 y = kx + b。代入圆心 (1,2) 得 2 = k*1 + b，即 b = 2 - k。
公式：点斜式方程 y = kx + b
提示：注意截距b用k表示。
步骤 4/5
目标：根据不经过第四象限确定k的范围
直线不经过第四象限，则当x≥0时，y≥0。考虑直线与y轴交点 (0,b)，需b≥0，即2-k≥0，得k≤2。同时斜率k≥0（否则直线向下倾斜会经过第四象限）。
公式：直线不经过第四象限的条件：k≥0且b≥0
提示：画图辅助理解。
步骤 5/5
目标：综合条件得出斜率取值范围
由k≥0且k≤2，得k∈[0,2]。
公式：不等式组求解
提示：注意端点是否可取。
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