南京大学 2023年强基第2题
📝 题目
已知 $x, y \in[0,1]$ ，则 $x^{2}+y^{2} \leq 1$ 且 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leq 1$ 的概率是？
💡 答案解析
$\displaystyle \frac{\pi}{2}-1$ 解：由题意可知 $\displaystyle P=\frac{2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\right)}{1}=\frac{\pi}{2}-1$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意，确定概率模型
x,y在[0,1]内独立均匀分布，概率为区域面积比。样本空间为边长为1的正方形，面积为1。
提示：注意x,y范围是[0,1]
步骤 2/6
目标：画出约束条件对应的区域
条件1: x^2+y^2≤1，是半径为1的圆在第一象限的四分之一圆。条件2: (x-1)^2+(y-1)^2≤1，是圆心(1,1)半径为1的圆在第一象限的四分之一圆。
提示：两个圆都经过点(0,1)和(1,0)
步骤 3/6
目标：求两个四分之一圆的交集面积
两个四分之一圆相交于(0,1)和(1,0)，重叠部分为两个弓形。每个弓形面积=扇形面积-三角形面积=π/4 - 1/2。
公式：扇形面积=π/4，三角形面积=1/2
提示：弓形面积公式
步骤 4/6
目标：计算总区域面积
两个四分之一圆总面积=π/4+π/4=π/2，减去重叠部分面积2*(π/4-1/2)=π/2-1，得区域面积=π/2 - (π/2-1)=1？不对，实际是并集面积。
提示：注意是求满足两个不等式之一的区域？题目是且，即同时满足，所以是交集。
步骤 5/6
目标：重新分析：求同时满足两个不等式的区域
同时满足两个不等式，即两个四分之一圆的交集。交集面积=两个弓形面积之和=2*(π/4 - 1/2)=π/2 - 1。
提示：交集区域形状为曲边四边形
步骤 6/6
目标：计算概率
概率=交集面积/正方形面积=(π/2 - 1)/1 = π/2 - 1。
公式：P = (π/2 - 1)/1
提示：面积比即为概率
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