南京大学 2023年强基第3题
📝 题目
在 $1 、 2 、 3 、 4 、 5$ 当中，有放回的取数字三次，最小的数字为 2 的概率是？
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \frac{37}{125}$ 解：情形一：三个位置全部都是 2 时，此时有 1 种 情形二：三个位置中有两个位置是 2 时，此时有 $3 C_{3}^{2}=9$ 种 情形三：三个位置中有一个位置是2时，此时有 $9 C_{3}^{1}=27$ 种 则 $\displaystyle P=\frac{1+3 C_{3}^{2}+9 C_{3}^{1}}{125}=\frac{37}{125}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定总的基本事件数
有放回取数字三次，每次有5种选择，总共有5^3=125种等可能结果。
公式：5^3=125
提示：有放回意味着每次独立，总数为5^3。
步骤 2/6
目标：分类讨论最小数字为2的情况
最小数字为2意味着所有数字≥2，且至少有一个2。分三类：三个都是2；两个是2，另一个是3-5；一个是2，另两个是3-5。
提示：注意数字不能小于2，且必须出现2。
步骤 3/6
目标：计算三个都是2的情况数
三个位置都是2，只有1种组合：222。
公式：1
提示：唯一情况。
步骤 4/6
目标：计算两个是2的情况数
先选两个位置放2，有C(3,2)=3种选法；剩下一个位置从3,4,5中选，有3种。总数为3×3=9种。
公式：C(3,2)×3=9
提示：注意剩下数字不能是1或2。
步骤 5/6
目标：计算一个是2的情况数
先选一个位置放2，有C(3,1)=3种选法；剩下两个位置从3,4,5中选，每个有3种，共3^2=9种。总数为3×9=27种。
公式：C(3,1)×3^2=27
提示：剩下数字可重复。
步骤 6/6
目标：计算概率
有利情况总数为1+9+27=37，概率为37/125。
公式：P=37/125
提示：概率=有利/总。
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