南京大学 2023年强基第5题
📝 题目
满足不定方程 $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{30}$ ，且 $x \leq y$ 的正整数解的组数？
💡 答案解析
14 解：由题意可知 $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{30} \Leftrightarrow(x-30)(y-30)=900$ 而 $900=3^{2} \times 5^{2} \times 2^{2}$ 则 $x-30=1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,25,30$ ，共 14 组解。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将方程化为整式方程
两边乘以30xy得：30y + 30x = xy，移项得xy - 30x - 30y = 0，两边加900得(x-30)(y-30)=900。
公式：xy - 30x - 30y + 900 = 900
提示：配方技巧：两边加900完成因式分解。
步骤 2/5
目标：分解900的因数
900 = 2^2 × 3^2 × 5^2，共有(2+1)(2+1)(2+1)=27个正因数。
公式：900 = 2^2 × 3^2 × 5^2
提示：因数个数公式：指数加1相乘。
步骤 3/5
目标：确定x-30的取值范围
由x≤y得x-30≤y-30，且x-30和y-30均为正整数（因为x,y>30），故x-30取900的不超过√900=30的正因数。
公式：x-30 ≤ y-30，且(x-30)(y-30)=900
提示：注意x,y为正整数，且x≤y，所以x-30≤y-30。
步骤 4/5
目标：列出所有可能的x-30值
900的不超过30的正因数有：1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,25,30，共14个。
公式：x-30 ∈ {1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,25,30}
提示：注意检查每个因数对应的y-30=900/(x-30)是否满足x≤y。
步骤 5/5
目标：验证每组解满足x≤y
对于每个x-30，y-30=900/(x-30)，由于x-30≤30，故y-30≥30，所以x≤y成立，共14组解。
公式：x = 30 + d, y = 30 + 900/d, d为上述因数
提示：每组d对应唯一解，且满足x≤y。
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