南京大学 2023年强基第6题
📝 题目
已知实系数方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的两根 $\alpha$ 和 $\beta$ 满足 $\alpha$ 是虚数，$\displaystyle \frac{\alpha^{2}}{\beta}$ 是实数，则 $\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}=$（这是 2015年北京大学自主招生题）。
💡 答案解析
$\displaystyle \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}$ 解：设 $\alpha=r \cos \alpha+i r \sin \alpha, \beta=r \cos (2 \pi-\alpha)+i r \sin (2 \pi-\alpha)$ ，此时 $\displaystyle \frac{\alpha^{2}}{\beta}=r \cos 3 \alpha+i r \sin 3 \alpha$ 又 $\alpha$ 为虚数，且 $\displaystyle \frac{\alpha^{2}}{\beta}$ 为实数，则 $\displaystyle 3 \alpha=k \pi \Rightarrow \alpha=\frac{k \pi}{3}(k \in Z$ 且 $k \neq 3 m, m \in Z)$ 此时 $\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}=\cos 2 \alpha+i \sin 2 \alpha=\frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设出α和β的三角形式
由于α是虚数，且α和β是共轭复数，设α=r(cosθ+isinθ)，则β=r(cosθ-isinθ)=r(cos(2π-θ)+isin(2π-θ))。
公式：α=r(cosθ+isinθ), β=r(cos(2π-θ)+isin(2π-θ))
提示：利用共轭复数的三角表示，注意辐角取主值范围。
步骤 2/6
目标：计算α²/β并化简
α²=r²(cos2θ+isin2θ)，除以β得α²/β=r(cos3θ+isin3θ)。
公式：α²/β = r(cos3θ+isin3θ)
提示：复数除法：模相除，辐角相减。
步骤 3/6
目标：利用α²/β是实数得到条件
α²/β是实数，则其虚部为0，即sin3θ=0，所以3θ=kπ，k∈Z。
公式：sin3θ=0 ⇒ 3θ=kπ
提示：实数的虚部为零。
步骤 4/6
目标：确定θ的取值范围
α是虚数，故sinθ≠0，即θ≠mπ。又3θ=kπ，则θ=kπ/3，且k不能被3整除，即k≠3m。
公式：θ=kπ/3, k∈Z且k≠3m
提示：排除θ为实数的情况。
步骤 5/6
目标：计算α/β
α/β = cos2θ+isin2θ = cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3)。k取1,2,4,5,...，但周期为3，只需考虑k=1,2。
公式：α/β = cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3)
提示：利用复数除法或三角形式直接得到。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
当k=1时，α/β=cos(2π/3)+isin(2π/3)=(-1+√3i)/2；当k=2时，α/β=cos(4π/3)+isin(4π/3)=(-1-√3i)/2。
公式：α/β = (-1±√3i)/2
提示：注意两个解互为共轭。
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