南京大学 2023年强基第7题
📝 题目
已知 $a\gt 0, b\gt 0, x+y=c$ ，则 $\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\sqrt{y^{2}+b^{2}}$ 的最小值。
💡 答案解析
$\sqrt{(a+b)^{2}+c^{2}}$ 解；由柯西不等式可知 $\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\sqrt{y^{2}+b^{2}} \geqslant \sqrt{(x+y)^{2}+(a+b)^{2}}=\sqrt{(a+b)^{2}+c^{2}}$ 当且仅当 $\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{a}{b}$ 时，即 $\displaystyle y=\frac{b c}{a+b}, x=\frac{a c}{a+b}$ 时，等号成立。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别问题类型
题目要求求两个根式之和的最小值，且变量满足线性约束，考虑使用柯西不等式。
提示：看到平方和开根号，联想到距离或柯西不等式。
步骤 2/5
目标：应用柯西不等式
由柯西不等式：(x^2+a^2)+(y^2+b^2) ≥ (x+y)^2+(a+b)^2，但这里需要根号形式，实际是向量模长不等式。
公式：√(x^2+a^2)+√(y^2+b^2) ≥ √((x+y)^2+(a+b)^2)
提示：将每个根式视为向量(x,a)和(y,b)的模，利用三角不等式。
步骤 3/5
目标：代入条件
已知x+y=c，代入得最小值表达式为√(c^2+(a+b)^2)。
公式：√(x^2+a^2)+√(y^2+b^2) ≥ √(c^2+(a+b)^2)
提示：注意等号成立条件。
步骤 4/5
目标：确定等号成立条件
等号成立当且仅当向量(x,a)与(y,b)共线且同向，即x/y = a/b。结合x+y=c，解得x=ac/(a+b), y=bc/(a+b)。
公式：x/y = a/b, x+y=c
提示：共线条件确保不等式取等。
步骤 5/5
目标：得出最小值
因此最小值为√((a+b)^2+c^2)。
公式：min = √((a+b)^2+c^2)
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