南京大学 2023年强基第8题
📝 题目
$f(n)=\sum_{k=1}^{n}\left(k^{2}+3 k+2, n\right)$ ，求 $f(100)$ 。
💡 答案解析
1136 解： 100 的因数有 $1,2,4,5,10,20,25,50,100$ ，又 $m=k^{2}+3 k+2=(k+1)(k+2)$ 则 $m$ 一定为偶数 此时 $\left(k^{2}+3 k+2,100\right)$ 一定为偶数 于是 $\left(k^{2}+3 k+2,100\right) \in\{2,4,10,20,50,100\}$ 此时 $\left(k^{2}+3 k+2,100\right)=2$ 有 32 个，$\left(k^{2}+3 k+2,100\right)=4$ 有 28 个 $\left(k^{2}+3 k+2,100\right)=10$ 有 17 个，$\left(k^{2}+3 k+2,100\right)=20$ 有 17 个 $\left(k^{2}+3 k+2,100\right)=50$ 有 3 个，$\left(k^{2}+3 k+2,100\right)=100$ 有 3 个 则 $f(100)=2 \times 32+4 \times 28+10 \times 17+20 \times 17+50 \times 3+100 \times 3=1136$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题目并分解表达式
题目要求计算f(100)=∑_{k=1}^{100} gcd(k^2+3k+2, 100)。首先将k^2+3k+2因式分解为(k+1)(k+2)。
公式：k^2+3k+2 = (k+1)(k+2)
提示：注意gcd是最大公约数函数。
步骤 2/4
目标：分析gcd的可能取值
由于(k+1)(k+2)是连续两个整数之积，必为偶数，所以gcd与100的公约数只能是偶数。100的偶因数有2,4,10,20,50,100。
公式：gcd((k+1)(k+2), 100) ∈ {2,4,10,20,50,100}
提示：100的因数有1,2,4,5,10,20,25,50,100，但gcd必为偶数。
步骤 3/4
目标：统计每个gcd值对应的k的个数
通过枚举或数论方法，统计k=1到100中gcd等于各值的个数：2有32个，4有28个，10有17个，20有17个，50有3个，100有3个。
公式：无
提示：可利用模100的剩余类或直接编程计算，但此处给出结果。
步骤 4/4
目标：计算f(100)的值
将每个gcd值乘以对应的个数再求和：2×32 + 4×28 + 10×17 + 20×17 + 50×3 + 100×3 = 64+112+170+340+150+300 = 1136。
公式：f(100) = Σ (d × count_d)
提示：注意计算要准确。
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