南京大学 2023年强基第9题
📝 题目
三角形的三边记为 $a, b, c$ ，满足 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\alpha, a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}=\beta$ ，求三角形面积。
💡 答案解析
$\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{\beta-\frac{\alpha^{2}}{4}}$ 解：由题意可知 $\displaystyle S=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} a b \sqrt{1-\cos ^{2} C}$ $\displaystyle =\frac{1}{2} a b \sqrt{1-\frac{\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)^{2}}{4 a^{2} b^{2}}}=\frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2}-\frac{\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)^{2}}{4}}$ 而 $a^{2}+b^{2}=\alpha-c^{2}, a^{2} b^{2}+c^{2}\left(\alpha-c^{2}\right)=\beta \Rightarrow a^{2} b^{2}=\beta-c^{2}\left(\alpha-c^{2}\right)$ 此时 $\displaystyle S=\frac{1}{2} \sqrt{\beta-c^{2}\left(\alpha-c^{2}\right)-\frac{\left(\alpha-2 c^{2}\right)^{2}}{4}}=\frac{1}{2} \sqrt{\beta-\frac{\alpha^{2}}{4}}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：用边长表示三角形面积
利用正弦定理，面积公式 S = (1/2)ab sin C，结合 sin²C = 1 - cos²C，将面积用边长表示。
公式：S = (1/2)ab sin C
提示：注意 sin²C + cos²C = 1
步骤 2/6
目标：代入余弦定理化简面积表达式
由余弦定理 cos C = (a²+b²-c²)/(2ab)，代入面积公式得 S = (1/2)√[a²b² - (a²+b²-c²)²/4]。
公式：cos C = (a²+b²-c²)/(2ab)
提示：化简时注意平方差公式
步骤 3/6
目标：利用已知条件消去 a²+b² 和 a²b²
已知 a²+b²+c²=α，a²b²+b²c²+c²a²=β。由第一式得 a²+b²=α-c²；由第二式得 a²b²=β-c²(α-c²)。
公式：a²+b² = α - c², a²b² = β - c²(α - c²)
提示：将第二式中的 b²c²+c²a² 提取公因式 c²(a²+b²)
步骤 4/6
目标：代入面积表达式并化简
将 a²+b² 和 a²b² 代入 S 的表达式，得 S = (1/2)√[β - c²(α-c²) - (α-2c²)²/4]。
公式：S = (1/2)√[β - c²(α-c²) - (α-2c²)²/4]
提示：注意 (a²+b²-c²)² = (α-2c²)²
步骤 5/6
目标：进一步化简根号内表达式
展开并合并同类项：β - c²(α-c²) - (α-2c²)²/4 = β - αc² + c⁴ - (α² - 4αc² + 4c⁴)/4 = β - α²/4。
公式：β - α²/4
提示：注意 c⁴ 项抵消，αc² 项也抵消
步骤 6/6
目标：得到最终面积公式
因此 S = (1/2)√(β - α²/4)，即三角形面积为二分之一倍的根号下 β 减去 α² 除以 4。
公式：S = (1/2)√(β - α²/4)
提示：结果与边长 c 无关，说明面积由 α 和 β 唯一确定
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