南京大学 2023年强基第10题
📝 题目
用 $a_{n}$ 表示 $n$ 在三进制下的各数字之和，例如 $a_{7}=3, a_{9}=1$ ，记 $S=\left\{a_{n} \mid a_{n}=5,1 \leq n \leq 2023\right\}$ ，求 $|S|$ 。
💡 答案解析
265 解：由题意可知 $2023=2202221_{(3)}$ 情形一：在 7 个位置选 5 个位置放1，此时有 $C_{7}^{5}=21$ 种 情形二：在 7 个位置选 3 个位置放1，在剩下的 4 个位置选 1 个位置放 2 ，此时有 $C_{7}^{3} C_{4}^{1}=140$ 种 情形三：在 7 个位置选两个位置放 2 ，在剩下的 5 个位置选 1 个位置放 1 ，减去 $2210000_{(3)}$ 这一个， 此时 $C_{7}^{2} C_{5}^{1}-1=104$ 种 则一共有 $21+140+104=265$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将2023转换为三进制数
2023除以3得余数序列：2023÷3=674余1，674÷3=224余2，224÷3=74余2，74÷3=24余2，24÷3=8余0，8÷3=2余2，2÷3=0余2，逆序得2023=2202221_{(3)}。
公式：除3取余法
提示：注意三进制数位从高位到低位排列。
步骤 2/5
目标：分析a_n=5时n的三进制数字和条件
n的三进制数字和为5，且n≤2023，即n的三进制表示不超过7位（因为2023是7位三进制数）。数字由0,1,2组成，和为5。
公式：数字和=5
提示：考虑所有可能的数字组合。
步骤 3/5
目标：分类讨论数字组合情况
情况一：5个1，其余为0，共C(7,5)=21种。情况二：3个1和1个2，其余0，共C(7,3)*C(4,1)=140种。情况三：2个2和1个1，其余0，共C(7,2)*C(5,1)=105种，但需排除超过2023的数。
公式：组合数公式C(n,k)
提示：注意数字2和1的个数。
步骤 4/5
目标：排除超过2023的数
情况三中，唯一超过2023的数是2210000_{(3)}=2*3^6+2*3^5+1*3^4=1458+486+81=2025>2023，故减去1种，得104种。
公式：比较三进制数大小
提示：检查最高位是否超过2023的最高位。
步骤 5/5
目标：求和得到|S|
总数为21+140+104=265。
公式：加法原理
提示：确保无重复无遗漏。
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