南京大学 2023年强基第11题

$E$ 解析：若 $\displaystyle \frac{b}{(a, b)}\lt 2023$ ，则 $\displaystyle f(1)=\left\{\frac{a}{b}\right\}=\left\{\frac{a}{b}\left(\frac{b}{(a, b)}+1\right)\right\}=f\left(\frac{b}{(a, b)}+1\right)$ ，则 $f$ 不为单射；若 $\displaystyle \frac{b}{(a, b)}=2023$ ，即 $b=2023$ 且 $(a, b)=1$ ，则由 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ 知 2023｜$a\left(x_{1}-x_{2}\right)$ ，故 $x_{1}=x_{2}$ ，即 $f$ 为单射．综上，$A$错误。 一方面，记 $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a}{b}$ 为既约分数，由分数的运算知 $\displaystyle \forall x \in S,\left\{\frac{a}{b} x\right\} \in\left\{0, \frac{1}{b}, \cdots, \frac{b^{\prime}-1}{b}\right\} \subseteq\left\{0, \frac{1}{b}, \cdots, \frac{b-1}{b}\right\}$ ；另一方面，由 $\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)=1$ 知，存在整数 $x_{0}, y_{0}$ 满足 $a^{\prime} x_{0}+b^{\prime} y_{0}=1$ ，则 $\forall k \in S, \exists x_{k}=k x_{0}, y_{k}= k y_{0}$ ，s．t．$a^{\prime} x_{k}+b^{\prime} y_{k}=k$ ．通过调整可使得 $x_{k} \in S$ ，则 $\displaystyle f\left(x_{k}\right)=\left\{\frac{a}{b} x_{k}\right\}=\left\{\frac{a^{\prime}}{b^{\prime}} x_{k}\right\}=\frac{k}{b^{\prime}}$ ，故 $f$ 的值域为 $\displaystyle \left\{0, \frac{1}{b}, \cdots, \frac{b-1}{b}\right\}$ ．因此 $B, C$ 错误。 若 $\displaystyle \frac{b}{(a, b)}\lt 2023$ ，则由第一段论证知 $\displaystyle f(1)=f\left(\frac{b}{(a, b)}+1\right)$ ；又 $\displaystyle 1\lt 2\lt \frac{b}{(a, b)}+1$ 且 $f(1) \neq f(2)$ ，故 $f$ 不单调．若 $b=2023$ 且 $(a, b)=1$ ，则由第二段论证知 $f$ 的值域为 $\displaystyle \left\{0, \frac{1}{2023}, \cdots, \frac{2022}{2023}\right\}$ ，故 $f$ 单调当且仅当 $\displaystyle \left\{\frac{a}{2023} x\right\}=1-\frac{x}{2023}, \forall x \in S$ ，即 $a=2022$ ．因此 $D$ 错误。 取 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $z=x+y-k b \in S$ ，则 $\displaystyle \{f(x)+f(y)\}=\left\{\frac{a}{b} x+\frac{a}{b} y\right\}=\left\{\frac{a}{b} z\right\}$ ，故E正确。 综上选 $E$ 。