南京大学 2023年强基第12题

$F$ 解析：记 $\lambda(n)=\min \left\{m \in \mathbb{N}^{*}: \forall(a, n)=1, a^{m} \equiv 1(\bmod n)\right\}$ ，以及 $n$ 的素因子分解式为 $n=p_{1}{ }^{\alpha_{1}} \cdots p_{s}{ }^{\alpha_{s}}$ ，则 $\lambda(n)=\left[\lambda\left(p_{1}{ }^{\alpha_{1}}\right), \cdots, \lambda\left(p_{s}{ }^{\alpha_{s}}\right)\right]$ 。由于 $n=2,2^{2}, p^{\alpha}$（ $p$ 为奇素数）都有原根，则此时 $\lambda(n)=\varphi(n)$ ，特别地，$\lambda(2020)=\left[\lambda\left(2^{2}\right), \lambda(5), \lambda(101)\right]=\left[\varphi\left(2^{2}\right), \varphi(5), \varphi(101)\right]=[2,4,100]=100$ ，即A正确。 由 $24 \mid n+1$ 即 $n \equiv-1(\bmod 24)$ 知，$n \equiv-1(\bmod 4)$ ，则 $n$ 不为完全平方数，故任取 $n$ 的因子 $\displaystyle d, d \neq \frac{n}{d}$ ．现证明对于 $n$ 的任意因子 $\displaystyle d, 24 \left\lvert\,\left(d+\frac{n}{d}\right)\right.$ ．这是因为，由 $24 \mid n+1$ 知，$(n, 24)=1$ ，则 $(d, 24)=1$ ．又由 $\displaystyle d+\frac{n}{d}=\frac{d^{2}+n}{d}$ 知，只需证明 $24 \mid d^{2}+n$ ，即证 $24 \mid d^{2}-1$ ．事实上，由 $(d, 24)=1$ 知，$d$ 为奇数且 $(d, 3)=1$ ，则 $8 \mid d^{2}-1$ 且 $3 \mid d^{2}-1$ ，故 $24 \mid d^{2}-1$ 得证．综上， $24 \mid \sigma(n)=n$ 的所有因子之和，即 $B$正确。 由于 $\displaystyle \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^{2}}=\frac{1}{\prod_{k=1}^{p-1} k^{2}} \sum_{k=1}^{p-1}\left(\prod_{j=1, j \neq k}^{p-1} j\right)^{2}$ ，其中 $\left(\prod_{k=1}^{p-1} k^{2}, p\right)=1$ ，则只需考虑当 $k=1, \cdots, p-1$ 时， $\prod_{j=1, j \neq k}^{p-1} j(\bmod p) \#$ 的值．注意 $k^{2} \equiv 1(\bmod p)$ 的解仅有 1 与 $p-1$ ，故 $\forall k \in\{2, \cdots, p-2\}, \exists!k^{\prime} \in \{2, \cdots, p-2\} \backslash\{k\}$, s．t．$k \cdot k^{\prime} \equiv 1(\bmod p)$ ．如此两两配对知，$\sum_{k=1}^{p-1}\left(\prod_{j=1, j \neq k}^{p-1} j\right)^{2} \equiv(p-1)^{2}+1^{2}$ ． $\displaystyle \sum_{k=2}^{p-2}\left(k^{\prime}\right)^{2} \cdot(p-1)^{2}+1^{2} \equiv \sum_{k=1}^{p-1} k^{2}=\frac{(p-1) p(2 p-1)}{6} \equiv 0(\bmod p)$ 。因此 $p \mid n=$ 既约分数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^{2}}=\frac{n}{m}$ 的分子，即C正确。 由于 $\displaystyle \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{p-k}\right)=p \cdot \sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} \frac{1}{k(p-k)}$ ，且 $\left(\prod_{k=1}^{p-1} k(p-k), p\right)=1$ ，故 $p \mid b$ ，其中 $b$ 为既约分数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k}=\frac{b}{a}$ 的分子．进一步地，由于 $\displaystyle \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^{2}}+2 \sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} \frac{1}{k(p-k)}=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{p-k}\right)^{2}$ ，其中 $\displaystyle p \left\lvert\, \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^{2}}\right.$ 的分子，且 $\displaystyle p^{2} \left\lvert\, \sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{p-k}\right)^{2}\right.$ 的分子，故 $\displaystyle p \left\lvert\, \sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} \frac{1}{k(p-k)}\right.$ 的分子．综上所述， $\displaystyle p^{2} \left\lvert\, \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k}\right.$ 的分子，即D正确。 由于 $\displaystyle \varphi(n)=n \cdot \Pi_{p \mid n \text { 为素数 }}\left(1-\frac{1}{p}\right)$ ，则 $$ \varphi(m n)=m n \cdot \prod_{p \mid m n \text { 为素数 }}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\frac{m \cdot \Pi_{p \mid m \text { 为索数 }}\left(1-\frac{1}{p}\right) \cdot n \cdot \Pi_{p \mid n \text { 为索数 }}\left(1-\frac{1}{p}\right)}{\Pi_{p \mid d \text { 为菜数 }}\left(1-\frac{1}{p}\right)}=\frac{d \varphi(m) \varphi(n)}{\varphi(d)} $$ 即E正确。 综上选 $F$ 。