南京大学 2023年强基第1题
📝 题目
从 $1,2, \cdots, n$ 中随机抽取一个数 $X$ ，再从 $1,2, \cdots, X$ 中随机抽取一个数 $Y$ ，求 $Y$ 的数学期望。
💡 答案解析
【解析】对任意的 $\displaystyle 1 \leq k \leq n, P(Y=k)=\sum_{i=k}^{n} P(X=i) P(Y=k, X=i)=\sum_{i=k}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{i}$ ，因此 $\displaystyle \mathrm{E}(Y)=\sum_{k=1}^{n} k \cdot P(Y=k)=\sum_{k=1}^{n} k \cdot\left(\sum_{i=k}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{i}\right)=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \sum_{k=1}^{i} k\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{i+1}{2}=\frac{n+3}{4}$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定Y的分布
对任意1≤k≤n，Y=k的概率为P(Y=k)=∑_{i=k}^n P(X=i)P(Y=k|X=i)=∑_{i=k}^n (1/n)*(1/i)。
公式：P(Y=k)=∑_{i=k}^n (1/n)*(1/i)
提示：注意求和从i=k到n，因为X必须至少为k。
步骤 2/6
目标：写出Y的数学期望表达式
E(Y)=∑_{k=1}^n k·P(Y=k)=∑_{k=1}^n k·∑_{i=k}^n (1/n)*(1/i)。
公式：E(Y)=∑_{k=1}^n k·∑_{i=k}^n (1/n)*(1/i)
提示：期望是k乘以概率的求和。
步骤 3/6
目标：交换求和顺序
交换求和顺序：E(Y)=(1/n)∑_{i=1}^n (1/i)∑_{k=1}^i k。因为当i固定时，k从1到i。
公式：E(Y)=(1/n)∑_{i=1}^n (1/i)∑_{k=1}^i k
提示：交换求和顺序时注意k的上限是i。
步骤 4/6
目标：计算内层求和
内层求和∑_{k=1}^i k = i(i+1)/2。
公式：∑_{k=1}^i k = i(i+1)/2
提示：等差数列求和公式。
步骤 5/6
目标：代入并化简
E(Y)=(1/n)∑_{i=1}^n (1/i)*[i(i+1)/2] = (1/n)∑_{i=1}^n (i+1)/2。
公式：E(Y)=(1/n)∑_{i=1}^n (i+1)/2
提示：约去i。
步骤 6/6
目标：计算最终结果
∑_{i=1}^n (i+1)/2 = (1/2)(∑_{i=1}^n i + n) = (1/2)(n(n+1)/2 + n) = n(n+3)/4，再除以n得(n+3)/4。
公式：E(Y)=(n+3)/4
提示：注意最后除以n。
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