南京大学 2023年强基第2题

【解析】记内切圆半径为 $r$ ，由海伦公式知 $\displaystyle r=\frac{2 S_{\triangle A B C}}{a+b+c}=\frac{1}{2}$ ． $\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{a+b+c}}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{6 \cdot 10 \cdot 8}{24}}=\sqrt{5}$ 。而由圆幂定理知 $r^{2}-P I^{2}=P F \cdot P E$ ，而 $\displaystyle P F=D F \sin \frac{C}{2}=2 r \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ ，同理 $\displaystyle P E=2 r \cos \frac{C}{2} \sin \frac{B}{2}$ 所以 $P I^{2}=r^{2}(1-\sin B \sin C)$ 。另一方面，$\displaystyle B D=\frac{a+c-b}{2}=4, C D=\frac{a+b-c}{2}=5$ ，所以 $\displaystyle \tan \frac{C}{2}=\frac{r}{C D}=\frac{\sqrt{5}}{5}, \tan \frac{B}{2}=\frac{\sqrt{5}}{4}$ ，故 $\displaystyle P I^{2}=5\left(1-\frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{8 \sqrt{5}}{21}\right)=\frac{5 \cdot 23}{9 \cdot 7} \Rightarrow P I=\frac{1}{3} \sqrt{\frac{115}{7}}$