南京大学 2023年强基第3题
📝 题目
求不定方程 $x^{2}-y!=2023$ 的全部正整数解。
💡 答案解析
【解析】若 $y \geq 4$ ，则 $1,0 \equiv x^{2}-y!\equiv 2023 \equiv 3(\bmod 4)$ ，矛盾！故只需考虑 $y=1,2,3$ ，从而唯一解为 $(x, y)=(45,2)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析模4余数，缩小y的范围
当y≥4时，y!能被4整除，所以y!≡0(mod 4)。而2023≡3(mod 4)，因此x²≡3(mod 4)，但平方数模4只能为0或1，矛盾。故y≤3。
公式：x² ≡ 0,1 (mod 4)
提示：注意阶乘增长快，常用模分析限制变量范围。
步骤 2/3
目标：逐一检验y=1,2,3
y=1时，x²=2024，不是完全平方数；y=2时，x²=2025=45²，得解(x,y)=(45,2)；y=3时，x²=2029，不是完全平方数。
公式：x² = 2023 + y!
提示：直接计算并检查是否为完全平方数。
步骤 3/3
目标：得出唯一正整数解
经检验，只有y=2时x为整数，故全部正整数解为(x,y)=(45,2)。
提示：注意题目要求正整数解，x=45为正整数。
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